1樓：Simpler
洛倫茲群的表示決定了場的型別（即是場算符如何洛倫茲變換的），李群的表示可以誘導出其李代數的表示。洛倫茲群的李代數同構於兩個su(2)的直和，因此我們可以用兩個「角量子數」（j1, j2）標記乙個場的型別。標量場對應了最trivial的表示，記為（0，0），沒有自旋，其拉氏量對應的eom為Klein Gordon方程（描述自旋為0的自由玻色子）。
外爾旋量場對應了（1/2，0）的表示和（0，1/2）的表示（自旋1/2），兩者的直和對應了狄拉克場/Majorana場。其拉氏量對應的拉格朗日方程就是狄拉克方程（描述自旋為1/2的電子/正電子…）。此外（1，0）表示，對應了電磁場，電磁場的拉氏量匯出麥克斯韋方程，描述自旋為1的光子。
2樓：臥煙伊豆湖
考慮自由場的洛倫茲變換，理所應當的，洛倫茲變換不應該改變場的形式。變換後場應當如同標量/向量/旋量那樣變換。矩陣D決定了場的變換方式。
把場（生成、湮滅算符）的洛倫茲變換公式代入，化簡得到如下方程（u，v對應場的係數因子）
W是小群，我們知道，對於有質量粒子場，小群是SO（3），也就是說，等式左邊的D(W)應該是SO（3）群的不可約么正表示，它的維度取決於場對應的粒子的自旋。
對於標量場，場應該像標量一樣變換，於是等式右邊的D應該為1。
可以進行化簡，化簡得到（等式右邊的j是指轉動生成元，左邊的J是角動量算符的躍遷矩陣元）
然後由於標量場應該像標量一樣變換，D=1，也就是說等式右邊的j為0。為了使方程有解，左邊J必須是一維矩陣，且為0。也就是說標量場對應粒子自旋為0。
對於向量場類似的可以知道，滿足這個方程的有兩個解，分別是角動量為0，1。角動量為0，其實只是標量場的導數，角動量為1複雜一點，滿足克萊因-戈登方程。
對於無質量粒子場，如果自旋為0或者1/2，直接在之前理論中取零質量極限即可。
自旋1的無質量粒子場稍稍複雜一點，其小群為ISO（2）群，容易發現，這種情況下，構建自旋1無質量粒子的向量場很困難（有些需要滿足的條件矛盾）。但是構建其張量場很容易，但是其實張量場含有場的導數項，會導致場隨距離快速衰減，這個時候需要用守恆流耦合，消除這種快速衰減影響。
然後可以發現，自旋為1，用守恆向量流耦合；自旋為2，用守恆張量流耦合（能動張量）；自旋3及以上，不存在這樣的三秩以上的守恆張量流，所以這時候沒法耦合，場快速衰減，對應物理上難以穩定存在。
也就是說，無質量粒子場，原則上可以描述向量場，旋量場，張量場，標量場。然後一般可以描述自旋為0，1/2，1，2的粒子；再高自旋的粒子場會快速衰減。
3樓：王清揚
大晚上懶得上知乎網頁版敲公式了，直接手寫了。
如圖所示，由於標量場不帶指標，所以它在空間轉動變換下不變，即δΦ=0。由此推導出的標量場的角動量只有俗稱軌道角動量的X×P項，沒有自旋項。所以標量場方程只能描述自旋0的粒子。
對於旋量場向量場，它們在空間轉動變換下會改變，所以諾特流第一項不為0，導致推導出的角動量包含乙個內秉項，稱為自旋。
4樓：風宇·天泉
先問是不是再問為什麼.
不是. 描述標量場的 Klein-Gordon 方程當然能描述 spin-的粒子, 但僅有 Klein-Gordon 方程不足以完整描述 spin-的粒子的自旋屬性.
Klein-Gordon 方程可以寫為
那麼, 我們可以寫出其通解為
其在 Lorentz 變換生成元 下的作用給出這樣乙個簡單的結果
其中是表徵軌道角動量的算符. 可以看見, 這裡一般是沒有自旋部分出現的.
但是, 我們考慮一般我們研究 spin-所用的 Dirac 方程為
我們總可以在方程兩邊同時再作用乙個 , 那麼事情將會變成
很好, 這基本就是利用 Klein-Gordon 方程描述 spin-粒子運動的全部故事, 而實際上也正因為能利用 K-G 方程描述其運動, 我們才能對它進行平面波展開, 寫成產生湮滅算符的形式, 從而正確寫下它的正則量子化等等一切後續.
後續故事, 則是證明 場的自旋真是 , 這還是比較麻煩的. 我在這裡只羅列公式, 首先便是一般場在 Lorentz 變換下的形式為
其次是, 通過構造 , 可以證明
這些故事在任何一本量子場論教科書上都可以查閱, 不在贅述.
5樓：秦軍山
學習過量子場論的人，都知道克萊因—戈登方程描述自旋為零的粒子，狄拉克方程描述自旋為1/2的粒子。
為什麼會這樣呢？
其實，克萊因—戈登方程和狄拉克方程都是從相對論能量—動量關係中匯出的相對論波動方程；不同的是，克萊因—戈登方程壓根就沒有考慮粒子的自旋這個屬性，而狄拉克方程則引入了泡利矩陣，天才般地匯出了粒子的自旋，並進一步匯出了乙個對於粒子來說非常重要的內稟屬性——手徵性。
最初，基於上述兩個方程建立的標量場和狄拉克場都有正能解和負能解，存在負能量困惑。隨著對上述場的量子化，場的正負能解被粒子的正反粒子態替代。由於粒子數是正定的，這樣能量會始終大於零，粒子的負能量困惑被解除。
這樣，標量場能描述的就是守恆荷（這裡我們主要指電荷）Q=0，自旋S=0的標量正反粒子，復標量場能描述的就是電荷Q=+1或Q=–1,自旋S=0的正反粒子；學過粒子物理學的都知道，這種粒子是介子。介子具有三種電荷態：+1，0，–1，自旋量子數為正整數:
0、1、2……
狄拉克場描述的是電荷Q=+1、0、–1，自旋S=+1/2、–1/2的粒子，這些粒子包括正反質子，正反中子，正負電子，正反中微子等，一般通稱為費公尺子。
標量場方程不能描述自旋為1/2的粒子，有兩種可能性，一種是S=0，標量場壓根就沒有考慮粒子的自旋屬性，還有一種可能就是S=1/2–1/2=0，這就要求標量場粒子必須是由自旋S=+1/2和S=-1/2的粒子耦合構成，就是說，標量場方程描述的是一對自旋分別為正負1/2的粒子耦合態，而不能是其中乙個粒子。
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