1樓：kikuchanj
對其他答案學習了一番，大概有個理解，如下
其實這個b也就是乙個列向量，要保證方程組有解，即要滿足r(A)=r(A|b)，那麼可理解為這個矩陣A在加一列b之後，秩不能變大，換句話來說，如果A滿秩，每一行都線性無關（各行之間一頓線性組合之後也消不掉某一行），即A的每列都是長度為m的這麼乙個感覺，那麼，A再拼一列過去，它的秩也不會發生變化。反之，如果A的行向量線性相關，那麼可以通過加加減減消掉一行，即最後一行為0，那麼再拼一列b過去之後，b的最後乙個元素會凸出來，即r(A)如果理解有誤，感謝糾正
2樓：工具人
首先分析 有解的條件, 我們會看到這和 列向量組有關係. 設 , 則Ax=b可寫成
因此 有解當且僅當 可由 線性表示.
由此我們可以判定C,D兩個選項都是錯誤的, 因為無論 線性相關還是線性無關, 都不能肯定 可由它們線性表示.
接下來再考察A,B兩個選項. 注意到 可由 線性表示當且僅當
的秩的秩,
即 的秩 的秩 (注: 絕大多數教材會把這個結論作為方程組有解的判定定理).
結合A,B兩個選項, 注意 和 的行數都是 , 因此當 的行向量組線性無關時, 的秩 , 已經最大(秩肯定不超行數), 此時增加乙個列所得的 的秩也肯定 , 因此A選項正確, 自然B選項錯誤.
3樓：tsuka okami
可以寫成
，其中 是列向量， 是列向量組，
由於 的size 為 ， ，若 的行向量組線性無關，那麼 ，於是有 ，於是可以從 中取 m 個線性無關的列向量（ 的列向量集合的子集），這 m 個線性無關的列向量記為 ，並構成 m 維空間的一組基，任意 m 維向量 可由這組基表示，即
然後令其他下標的 ，於是，
有解。故應該是 A 選項。
--- 分割線 ---
記 的行向量組為 ，那麼 ，就是
如果行向量組線性無關，那麼無論採用哪種高斯消除（解線性方程組時的消元法），變換後的矩陣 的行向量中不會出現 ，這就保證了有解，且當 n>m 時，有無窮多解。如果行向量線性相關，那麼經過高斯消除後會出現 ，那麼此時 ，不一定有解。
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