為什麼向量組個數大於維數一定線性相關？

1樓：蓋佰

為什麼不從定義入手去反證呢

向量空間的維數等於張成它的一組基向量裡向量的個數即， ( 線性無關)

現從中取出個向量

使得假設線性無關，則為的另一組基向量但此時的維數，與開頭的衝突

所以，該假設不成立，從同乙個向量空間選取得到的向量組的向量個數大於維數時，他們必線性相關

同理也可證得，從中選取得到的向量組裡向量的個數小於維數時，他們無法張成，只能張成的乙個真子空間

2樓：屯里的故事

1.首先齊次方程組當維數與個數相等時，若秩小於維數，則此時不論增加多少個向量都相關，（零向量跟任何向量都相關）

2.若秩等於維數（r=n），此時不相關。但當向量的個數大於維數的時候，原本n個n維向量變成了n+1個n維向量，即：

可以看做，原來的方程組由齊次方程（方程組的右邊全為零）突然變成了非齊次方程組（等式右邊變成了第n+1列）；

此時可以看做就是有AX變成了AX=B；則由非齊次方程組的解證明：此時係數方程（A）的秩一定=增廣矩陣（A，B）的秩=n（未知數x的個數），所以一定有解，有解意味著相關。

第二種想法：AX可以看成AX=0，方程必有解，若增加乙個向量A可以看成（A+一列）=0的方程，方程必有解（×）不能表示、因為原式已經預設合向量為零，所以此法不通。（注：

AX有無解AX=0必有解）

第三種想法：增加一列，相當於把原來的向量合成乙個向量與新的一列的合向量為零，就變成了乙個2個n維向量的合向量，，，如三個三維向量合體變成任何乙個三維向量↓(如：三個不共面的向量能夠表示任何乙個三維向量，而秩等於維數（r=n）必不共面）ab

cdef

hig

Aa+Bd+Ch=k

Ab+Be+Ci=l

Ac+Bf+Cg=m

所以任何乙個增廣矩陣裡的係數矩陣若想有解，n-1個向量的差不能與剩下的乙個成比例。

3樓：非命

根據定義，線性相關等價於非齊次線性方程組有非零解，而如果維數小於向量的個數，就說明向量組的秩小於等於維數小於向量個數，即秩小於等於行數小於列數，那麼非齊次線性方程組必定有非零解，則說明維數小於向量個數的向量組線性相關。

4樓：認識自己

因為n維向量有乙個含有n個向量的向量組，即基本單位向量組：這些向量只有乙個座標為1其餘座標為0. 我們知道這個向量組可以線性表示所有n維向量。

因此當乙個向量組向量的個數多於n，但仍可以由含有n個向量的基本單位向量組表示，我們看到含有向量多的一組可由少的一組表示，因此多的一組線性相關。