向量組線性相關，線性不相關的通俗解釋？

1樓：天色

假設n維空間中有n個向量，並且這n個向量中的任意乙個向量，都與其他任意兩個向量組成的平面有且只有乙個交點。則這n個向量線性無關。

也就是說把所有的向量起點全部連線在乙個點上，那麼任意3個向量都不在乙個平面上。

2樓：「已登出」

這玩意就是透過現象看本質，看起來好像不一樣的東西，本質上都是換湯不換藥，不過就是加加減減拼湊的玩意，沒啥新東西。而這個新東西，是能夠擴充套件維度的東西，是難能可貴的。

說一組向量線性相關，本質就是說，裡面有混子，這個混子可以被其他人代替。

說一組向量相性無關，就好比說大家都是好樣的，都是能獨當一面的能手，缺誰都不行。

不知道夠不夠通俗。

3樓：蘭蘭子

話說有乙個大學生名叫小明，他正在為線性代數期末考試發著愁，因為他始終不能理解「向量組的線性相關與線性無關」的概念。正巧，他爸爸媽媽都是數學教授。他們一家人常常坐在一起聊著數學，其樂融融。

小明爸媽聊數學的時候啊，有乙個習慣，那就是喝咖啡。小明爸爸比較重口，喜歡喝特濃咖啡；小明媽媽更喜歡淡咖啡。小明覺得咖啡因會壞身體，於是非白開水不喝。

有一天，小明爸爸口渴了，讓小明去買點飲料。小明開啟某寶，買了一箱濃咖啡、一箱淡咖啡、一箱白開水。（不要問我為什麼他們不直接燒水。或許他們家沒水壺？）

小明爸爸一看，敲著小明的腦袋說：你這麼買，多浪費啊。

見小明一頭霧水，爸爸說：你看，當你擁有了濃咖啡和白開水之後，任何濃度的淡咖啡都可以通過二者以一定的比例兌出來。也就是說，買了濃咖啡和白開水之後，就自動擁有了各種淡咖啡。

因此，再買淡咖啡，不就是浪費嘛？

小明覺得爸爸說得很有道理啊，於是呲溜跑進廚房，抓起瓶瓶罐罐就開始兌咖啡。

現在小明手上有用不完（近似於無窮）瓶一公升的白開水和淡咖啡。不一會兒，他便兌出了三瓶不同濃度的淡咖啡。瓶子上的標籤寫著配方：

【1公升白開水, 5公升濃咖啡】【2公升白開水, 3公升濃咖啡】【4公升白開水, 2公升濃咖啡】

小明知道，如果他願意，他可以兌出任意濃度的淡咖啡。當然，媽媽喜歡喝的那種也不在話下。

爸爸看到之後，對小明說：兌完咖啡之後貼標籤是好事，但有更簡潔的記法。於是把標籤重新寫作：

隨即又在一公升白開水和一公升濃咖啡的瓶子上分別貼上：

小明爸爸接著說：如此一來，「1公升白開水加5公升濃咖啡可以兌出【1公升白開水, 5公升濃咖啡】的淡咖啡」就可以寫作：

現在廚房裡的所有液體都是向量，其中濃咖啡和白開水是基向量，兌咖啡的過程就是基向量的線性組合。剛才的實驗給我們乙個啟示：對於實數,任何形如的向量都可以通過的線性組合得到。

而當乙個向量可以由其他幾個向量線性組合得到，我們就說，這些向量之間線性相關。正如，一種咖啡可以由其他兩種液體兌出來，我們就說，單獨買這種咖啡就是浪費啦。

域上的向量空間的一組向量 , 若存在一組不全為的數使得 , 其中為中的零向量, 則稱這組向量線性相關, 否則稱之線性無關。

也就是說，當一組向量線性相關的時候，它們是可以相互線性組合出來的。所以別看「線性相關」長得可怕，究其本質，不過是兌咖啡而已。

小明媽媽伸著懶腰從房間裡走出來說：媽媽咖啡喝膩了，想喝可樂啦。

小明說：我知道！我這就去買糖漿和蘇打水，為媽媽線性組合出可樂來！

小明爸爸再一次敲著小明的腦袋：直接買可樂不就行啦！

——————完——————

4樓：

簡單來說，我覺得你可以用一種比較幾何化的想法來理解：

你應該要知道乙個線性代數的概念，叫張成（span）你用一組向量，比如個向量，來張成乙個線性空間，如果這個線性空間是維的，那這個向量就線性無關

反之，你張成的這個線性空間維度不足，那這個向量就線性相關用低維的例子很好解釋

比如兩個向量和，它們張成的子空間是平面，所以這倆向量線性無關向量 , 和，它們張成的子空間也是平面，所以這3個向量線性相關而向量向量 , 和，它們張成的子空間是整個三維歐氏幾何空間，所以三者線性無關

把這種直觀的幾何解釋推廣到高維歐氏空間就行

5樓：單建華

由於知乎不太好貼公式，請移步我的部落格 https://

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6樓：「已登出」

二維以及三維空間的線性相關有比較容易理解的，就是共線或共面了。把向量組的向量看成空間的骨架，要使用這些骨架張成乙個空間，對於骨架是有要求的，例如，三維空間裡，如果所有骨架共面了，那麼這組骨架無論如何也張不成三維空間，因為向量組線性相關了。

線性無關的向量組具有良好的性質，例如向量組張成的空間每乙個元素都可以由向量組的元素線性表出，而且表出方式唯一確定，每個元素在這組向量下都可以擁有乙個唯一確定的座標。