四個向量線性相關的幾何意義是什麼？

1樓：單建華

由於知乎不太好貼公式，請移步我的部落格 https://

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/article/month/2020/03

2樓：Timothy

對於幾何意義你幾乎什麼也看不出來，四個維向量一定線性相關，他們可以3個3個互相線性無關但是組合在一起卻一定線性相關。比如說

這四個向量就是一定線性相關，卻任意抽出三者又都是線性無關，而且這四者也可以張成整個三維線性空間

2. 秩小於4，這個幾何意義就比較難說了，因為就算是張成3維空間，這個也只能說「此三維非彼三維」，我假定題主學了廣義的向量，為了方便了解一般的高維向量組成的3維空間，定義為各組向量張成的線性空間，且各個空間維數最高為3。這裡不妨假定每個空間的維數就是3。

記作 , 這裡不妨假設 ,也就是說只會張成可觀測的3維空間，的存在是為了襯托的特殊性。則幾何意義會有兩種情況

(1).和倆線性空間會出現交集，交集不只含有元素：也就是說；當且僅當兩組向量混在在一起形成的，的維數小於6，這裡還是直接沿用數值向量裡面「秩」的概念吧，也就是說原本倆線性空間的基放在一起後的秩小於他們原本的秩之和，也就是說裡面抽乙個基過去放進的基組裡面，會線性相關。

你無法完全看見，但是可以看見一定的維度。也就是說，你可以在三維空間內「窺見」這些神秘三維空間的一些「痕跡」，舉個例子：

不妨令的基為，的基為，這樣他們就有除了零元素之外的交集，而且可以擴張為三維空間裡的乙個一維空間,這樣，你不僅看到了的全貌，在看見全體的同時你也窺見了的乙個維度。

(2). 是直和，也就是說和倆線性空間交集僅含元素,這個可以舉乙個比較直觀的例子，不妨令的基為，的基為，是可觀測的三維空間，也是可觀測的空間，但是這兩個空間的交集除了之外啥都沒有，他倆構成的空間是他們的直和。你可以完全看見第二個空間 ,卻甚至無法想象的任何形狀，因為他不屬於可觀測空間。

這兩種情況就說明，雖然他也是形成的三維空間，可是並不代表可以在三維空間內用基本的圖形完全表示出來，而且第一種情況遠多餘第二種。

就醬，我提個建議，盡早擺脫「將向量直接比作3維空間的有向線段」這種思維，因為廣義向量並不一定需要這麼強的可視性，更重要的，向量的元素不一定都是數字，也可以是矩陣啊什麼的。並且這種想法對你接受一些線性空間的性質和結論是有一定的阻礙的。加油呀！

3樓：線上解題器

n+1個向量線性相關，它們必定在小於等於n維的線性空間內。

1個向量構成的租線性相關，說明這個向量是0向量，那麼這個向量處於0維空間，即這個向量只是幾何意義上的點。

2個向量線性相關，這2個向量必定是在同1直線上，即這兩個向量互為彼此的非零整數倍，且方向相反。

3個向量線性相關，這3個向量必定是在同1平面上，其中任意向量可由剩下的兩向量表示，即高中學的兩向量的加減平行四邊形，三角形法則。

4個向量線性相關，這4個向量必定是在同1三維空間上

5個向量線性相關，這5個向量必定是在同1線性空間

上面的＜＝n,包括了一般情況，

比如4個向量線性相關，也有可能這四個向量在同1直線上，但我們仍說他們處於三維空間中

這樣來講的話，包含n+1個向量的線性相關組，期中的這n+1個向量處於n維空間的這種情況反而是特殊情況。

4樓：

線性空間中的線性無關組中元素的個數不可能超過線性空間的維數

你非要說幾何意義的話，我覺得可以這麼想：如果把這個三維線性空間視為乙個更高維的線性空間的子空間，那麼幾何意義可以理解為這4個向量都在三維子空間中

5樓：xiong wili

兩個2維向量a,b構成的向量組的幾何意義是: a,b共線三個3維向量a,b,c構成的向量組的幾何意義是: a,b,c共面四個4維向量a,b,c,d構成的向量組幾何意義是：

對應的非齊次線性方程組所表示的四個平面交於同一直線。

6樓：olive

向量線性無關，那麼他們可以構成一組基，那麼可以根據維度直接判斷他們可以形成幾維的子空間；當線性相關時，那麼他們的維度小於他們的個數，所以生成子空間要小。對於四個向量來說，小於四維的無非是生成體，面，線，甚至是點（對於o向量）。補充一點，題主的三個向量還能生成線或點。