1樓：虛實道長
我想題主的困惑應該是求和完了就完了，幹嘛還要積分。也就是為何還要乘以dx。
其實這就是「連續」的詭異之處。如果只是做離散分割，是可以只求乙個sum。
問題在於，離散分割了的，在某個點的f(xi)*g(xi)和下個點之間，理論上還有「無窮多」點！
所以在連續的情況下，問題發生了難以理解的改變，f(x)g(x)必須按照黎曼積分的模式，先不均勻的離散分割，然後找到max(delta xi),把這個最大的delta xi取lim->0.也就是達布上和。這個積分正好等於積分上和和積分下和的極限。
換句話說！驚險的飛躍來了！對於函式空間，內積其實變成了f(x)g(x)函式圖形所包圍的面積！（按照定積分的定義）。我想這是最難以令人置信和想象，難以理解的部分。
2樓：suyx
假設有函式f(x), g(x), 在區間【a, b】上：
假設將區間【a,b】劃為N等份，則函式f(x),g(x)的值可表示為：
【f(x1), f(x2), f(x3).....,f(xn)】,【g(x1), g(x2), g(x3).....,g(xn)】,此時將【f(x1), f(x2), f(x3).....
,f(xn)】看做向量f， 【g(x1), g(x2), g(x3).....,g(xn)】看做向量g
則f和g的內積可表示為： f(xi)g(xi)若n 則 f和g的內積可表示為 f(x)g(x)dx
3樓：tangerine
簡單說，內積就是兩個函式相同位置上的值相乘後求和。
至於在複數域時為什麼要對乙個函式求共軛，舉個簡單的例子說明：
當我們求複數x=a+bi的二範數時，也是要求共軛的，乾脆直接理解為兩個復函式相同位置上的乘積（以2範數形式的乘積）的求和，我感覺也行吧。
4樓：比特曼
有限維：
對，定義z的範數為
因為我們希望||z||是非負數所以上式中的絕對值是必要的。注意到
我們想把||z||^2看作z與自身的內積，就像在實數中的那樣（內積就是點積）。因此上面的等式提示我們，與z的內積應該等於
而向量內積的重要性，我想可以通過乙個定理來說明：
設是V的規範正交基，則對每個v屬於V，都有
,>" eeimg="1"/>
其中規範正交基的「長度」（範數）為1，兩兩相互「垂直」（正交，內積為零）；表示內積。
內積可以理解為像實向量的點積，然後與規範正交基的內積可以看到向量v的分解。
對於無限維，將求和改成積分就是題目中的樣子了。
=\sum_^} \text = \int_^ f(x) \overline \, \textx." eeimg="1"/>
——《Linear Algebra Done Right》
5樓：阿耨
其實這個定義是乙個對向量內積的很自然的擴張嘛。想想兩個向量的內積是怎麼定義的？兩個向量逐項相乘再求和。
其實就是兩個動作，相乘和求和。很自然的，兩個函式取內積，就是兩個函式先相乘，然後再取integral（求和，因為這裡不是有限分量求和，甚至不是可數多的分量）。integral的符號其實就是求和符號，或者說integral的符號就是廣義的求和符號，你把sum符號拉直了就是integral的符號啦：）
6樓：RagingBoson
鑑於題主提到了「內積」，不妨設題主了解線性空間中的內積。這裡只講講動機和理解方式，並不嚴謹（唯一嚴謹的只有定義）。
從有限維線性空間的角度出發，我們知道它裡面的乙個內積總能寫成的形式，其中是乙個矩陣；而且如果，即退化為點乘，那直接把各個維度的係數相乘再加起來就好了。
回到函式。函式不就是一種對映麼？從到的乙個函式不就是給每乙個裡的數安排乙個實數麼？
所以這個（單值）函式空間我們也表為（回想，冪集的定義亦可看作對映），意思就是這個集合裡每乙個元素都是一套規則，這個規則把實數賦給上的每乙個數。這樣的話不妨把每套規則都看成是基於的-維線性空間中的乙個向量，而它每乙個維度上的係數就是對應的中的數的函式取值。例，取，它的第維上的係數就是。
這是自然的。
這樣我們有兩個函式，給它們做乙個特殊的內積，即點乘，不就是把各個維度的數乘起來求和麼？連續求和即積分。至於可積與否就是另外一件事情了。這就是函式內積的動機/腦補方式。
如果取複數域的話在對應的函式上做共軛變換即可，道理一樣(or ,whatever)。
7樓：程功
@Corollary 的答案別出機杼講得很好了，由他的答案提醒我想到了乙個開腦洞的解釋。
題主沒有給更多的資訊所以我假設函式定義在上，那麼上述的Hermitian內積就是在上與L^2範數唯一相容的內積。
具體說，乙個Banach空間能夠成為乙個Hilbert空間的條件就是其範數滿足平行四邊形等式：，而且在這個等式成立的條件下內積是被範數唯一確定的。而我們知道只有當p＝2的時候是乙個Hilbert空間，那麼對應於L^2範數的內積就是題主所提到的定義。
————
那麼現在問題來了：為什麼L^p上面的範數是那樣定義的呢？
這個我也沒什麼好答案，反正挺好用的……
另：這個定義絕不是乙個一般（標準）的定義。比如 @何史提 答案中提到的定義也是乙個內積。
一般來說對於非緊支的函式的內積定義來說在積分裡乘乙個bump function (cutting-off function)也是常用的手段。個人淺見，定義主要還是為了好用，用著方便的。
8樓：何史提
&=& \sum_i f(x_i) g^*(x_i)" eeimg="1"/>
把這轉成積分，加上權重，就成了一般所見的函式的內積定義。
為什麼函式極限的定義會這麼複雜？
asdlittle 這個問題和數學史有關，尤其是第二次數學危機。如果你了解這段歷史，就會知道寫下這個 定義的維爾斯特拉斯有多麼偉大。古希臘的數學迴避無窮小量的說法，他們採用的是與戴德金分割定理等價的歐多克索斯比例理論來處理有關極限 無窮小和不可公約量的問題。這不是一套簡便易學的系統，你可以看看古希臘...
為什麼C 的庫函式的定義會這麼複雜？
如果是VS的話，你應該可以在安裝目錄裡找到原始碼。例如C Program Files x86 Windows Kits 10 Source 10.0.15063.0 ucrt convert ctype.cpp sin1080 這些都是M 的dll相關擴充套件搞出來的私貨，本來在C標準裡就是 int...
為什麼焦耳是力乘路程？為什麼能量要這麼定義？
四重積分 四重積分 量子力學如何推導出牛頓三定律?可以參考我這個回答的前半部分，只需要一些原理性的假設以及認為物理學規律具有最簡單的形式就可以給出能量，功等概念。 阿棟哥 我姑且認為題主還是個初中生，剛接觸這些概念。我當年比較偷懶，人家怎麼定義我就怎麼背，對課本有著迷之崇拜。甚至我還對課本中頻頻出現...