1樓：比特曼
最近在讀《Linear Algebra Done Right》，看到這個問題真是excited！
首先，注意到自相關函式是這麼定義的：
嗯，很熟悉的感覺。
內積的定義：
= \int_^ f(x) \overline \, \textx." eeimg="1"/>
噓~你們看，我發現了什麼？這裡有乙隻落單的公式，我們可以嘗試捕捉它，乙個公式可以為我們提供好幾天的能量，它們富含大量的蛋白質，不過公式可不好對付。我們慢慢從後面接近它，小心別發出任何聲音。
嘿，我抓到了，它掙扎得很厲害！我們把它的頭割下來，其餘的部位可以生吃，當然，如果時間不緊迫，我們可以先烤一烤，那樣會更美味。
嗯，它們的口感嘎嘣脆，味道就像雞肉一樣。
這不就是把積分區間擴大到(-int, int)，把g(x)寫成f(x-tau)嗎？
也就是說，自相關是時移tau後與自己的內積！
函式正交的數學或物理含義？ - 物理學
函式的內積為什麼要這麼定義？ - 數學
如果兩個向量的內積（點積）為0，則它們相互「垂直」；
如果兩個向量的內積（點積）標準化後為1，則它們」同向「；
如果兩個向量的內積（點積）標準化後為-1，則它們「反向」。
2樓：雲樹
---updateV2-20170405
update20170405:前些月複習了通訊原理和隨機過程，在通訊裡面大部分情況下，訊號都是隨機的，而我們處理訊號的一大利器就是Fourier變換，所以，得想辦法利用Fourier變換，但是，Fourier變換只能用於確知訊號，隨機訊號是不可以做Fourier變換的，所以可以利用相關函式(自相關函式、互相關函式)對訊號進行運算，這樣就可以對運算後的訊號做Fourier變換啦。
---以下為原答案V1-20141004
乙個訊號只能是功率訊號與能量訊號之一，不會兩者都是，但可以兩者都不是。
1.能量訊號的自相關函式與其能量譜密度是一對傅氏變換對。
能量訊號（確定性訊號）在頻域中重要的乙個性質就是能量譜密度，能量譜密度是單位頻寬中的訊號能量與頻率f的關係。
所以從時域中看，能量譜密度就是能量訊號的自相關函式。
令為實能量訊號，且
則的能量
能量譜密度中有共軛，所以對能量譜密度求傅氏反變換，得到能量訊號的自相關函式
2.功率訊號的自相關函式與其功率譜密度是一對傅氏變換對。
（功率訊號可以看做取週期訊號的乙個週期，令
,求能量，再求平均功率，類似的）
3.定義中的卷積只不過可以湊巧可以變換成卷積形式，（你仔細看看自相關函式跟卷積定義形式還是有差別的），共軛的表面原因，是從上面推導而來的，其實跟複數域上的內積有關係。
3樓：王贇 Maigo
我來簡潔地解釋一下。
1) 首先我們僅考慮實訊號。
自相關的直觀含義就是：把乙個訊號平移一段距離，跟原來有多相似。
於是就有了自相關的定義：
它代表了「移、乘、積」這三步操作。
如果只談自相關，其實到此就可以結束了。
只不過，在訊號處理領域中還有乙個叫「卷積」的東西，在別的地方（已知線性時不變系統的衝激響應和輸入，求響應）有用。
它跟自相關的定義很相似，包含了「卷、移、乘、積」四步操作：
左邊有時也寫作，表示這個函式是由x(t)和y(t)卷積而得的，但它的自變數是。
我們發現卷積比自相關多了一步「卷」的操作，為了去掉這個多餘的操作，我們先把原訊號自己卷一下，就可以抵消掉卷積中的「卷」操作了。這就是自相關與卷積的關係：
2) 現在擴充套件到複數域。
自相關是要刻畫乙個訊號平移後與原始訊號的相似性。顯然，不平移時應該是最相似的。
我們希望x(t)與x(t)本身相乘後積分時，各時間點的值能夠因疊加而增強。
在實數域上x(t)直接自乘沒有問題。在複數域上，x(t)自乘後輻角還是亂的。
如果對其中乙個x(t)取一下共軛，相乘後輻角就統一變成0了，積分時就能夠取得疊加增強的效果。
所以在複數域上，自相關是這樣的：
（共軛取在前者還是後者上都可以，取決於作者的習慣）
擴充套件一下，複數域上線性空間的內積的定義中也有共軛，其動機與此處相同。
「相關」這個運算其實就是一種內積。
函式是什麼？怎麼理解？
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