1樓：Minamo
先證充分性，rank(A)=rank(A,B)說明A和（A,B）的極大線性無關組所含向量的個數是一樣的，所以說假定任取A的乙個極大線性無關組，那麼這個組也可以作為（A,B）的極大線性無關組，很顯然B就能由該線性無關組表示了，也就意味著B能由A線性表示；再證必要性，B能A線性表示說明rank(B)≤rank(A)，又因為在A能表示B或B能表示A的條件下rank(A,B)=max(rank(A),rank(B))，所以rank(A,B)=rank(A)。命題得證。
2樓：
題主如果是問如何理解，我就通俗(不嚴格)的講一下。
關鍵理解在於，矩陣的秩是矩陣column space的維數。
B中的向量能被A中的向量線性表示，則說明B的向量就在A的列空間中，(A,B)的列空間自然還是A的列空間，(A,B)秩是列空間的維數，也就是A列空間的維數，也就是A的秩了。(A,B)的秩和A的秩相同，(A,B)就是個奇異矩陣，列空間和A的列空間相同，B中的向量作為free column自然也在列空間中，也就可以被A的向量(或者說是A中的pivot columns，列空間的基向量)線性表示出來了。
個人覺得，把空間的概念理解好，一切都很明朗了。
3樓：張萬凱
先證明：若向量組B能由向量組A線性表示，則A的秩等於[A B]的秩
先來個直觀上通俗的理解。你想啊，B都完全由A表示了，說明[A B]中B
沒做任何貢獻，算秩沒他什麼事兒，所以[A B]的秩等於A的秩。令A的秩為r，A中r個線性無關的列向量為
令[A B]的秩為s
假設，那麼必然有 r" eeimg="1"/>，因為A中本來就有r個線性無關的列向量
所以 [A B]中至少有乙個向量v不能被線性表示
因為A的秩為r, 所以，於是
所以向量組B中有乙個向量不能被A線性表示，與已知矛盾
於是命題得證
充要條件的分割線
再證明：如果A的秩等於[A B]的秩，那麼向量組B能由A線性表示
這點其實沒那麼直觀，可以理解為[A B]中有貢獻的向量其實全在A裡頭令A和[A B]的秩均為r，A中r個線性無關的列向量為
假設向量組B中存在乙個列向量v不能由A線性表示
那麼v一定能和構成r+1個線性無關的向量
所以[A B]的秩至少為r + 1，與已知矛盾
於是命題得證
總結分割線
題主要在「秩」、「線性無關」、「線性表示」這三個概念之間切換自如，多思考多練習就行。
怎麼證明 向量組A1，A2 As可由向量組B1，B2 Bt線性表出，且s t，那麼A As線性相關
六月風 證向量組線性相關的話，一般從k1a1 k2a2 ksas 0入手，且k1，k2，k3 ks不完全為0。並且s，t分別相當於矩陣的列數，行數，然後就迎刃而解了。 愛吃西紅柿的女巫 向量組a1,a2,as可由向量組b1,b2,bt線性表出，則r a1,a2,as r b1,b2,bt 又因為r ...
如果乙個向量組可以由另乙個向量組線性表示，那麼它們的秩是否相同？
Rewind 這種概念性質的結論一定要從定義入手去理解。B能被A錶出，則r B r A 這其實很好理解 向量組能表示出的線性空間維度是取決於它本身的 比如不能用二維座標直接去表示任意的三維空間座標一樣 對於已經定義的向量表示形式的向量組而言，它自身也不可能表出具有別的維度的向量組 比如 1,0,0 ...
為什麼向量組可以由它的極大線性無關組錶出？
Midoriko 兩條不重合的線 基 可以定義乙個面，這個面上任意的線都是這兩個基的線性組合，所以這個面上任意選擇任意條線組合的結果都是同一面。也就是說向量組張成的空間和它的極大線性無關組張成的空間是一樣的。 灰色幻想 類似於中國有34個省，如果每個省都有乙個知曉本省所有訊息的省通，如果我掌控了這3...