1樓：
1、有界無窮數列必有收斂子列，設收斂子列 收斂至A.
2、因為整個數列 發散，所以A不是 的極限。根據極限定義，存在 0" eeimg="1"/>, 使得 裡有無窮多個數在區間 之外。
這無窮多個數構成的子列依然是有界的，所以也存在收斂子列，此收斂子列的極限不在區間 內，自然不等於A。
所以我們找到了兩個收斂至不同數的子列。
2樓：心平氣和
我們只需要證明，如果乙個數列收斂於實數，或者發散到正負無窮的充分必要條件是它的所有子數列都收斂於原數列的極限即可。上面的命題顯然等價於：
存在當且僅當乙個極限存在的序列a_n的所有子列極限的集合只有乙個元素。
讓S為數列a_n的所有子列的極限的集合，我們只需要證明
我們首先考慮a_n的乙個收斂於a的子數列，將其稱作則所以
因為對於所有的a，上述不等式都成立，所以我們有
根據假設，a_n收斂於某個實數或者發散到正負無窮，所以
這裡用到了定理：如果s_n是乙個序列，那麼他存在極限為liminf s_n和極限為limsup s_n的子列
所以所以，顯然可以得出
反過來，由上面提到的定理可得，同樣顯然成立
所以，如果乙個數列有界且發散，則其極限不存在，所以S中的元素個數必需要大於等於兩個，這也證明了原命題
如何用有限覆蓋定理證明有界數列必有收斂的子列？
鍵山怜奈 對於數列 記 n right eeimg 1 n right eeimg 1 構造閉區間族 顯然，對於任意有限集 記 則對於 N eeimg 1 有這也就說明了閉區間族具有有窮交性質，因此閉區間族交集非空閉區間的交集一定是閉區間，即 接下來遞迴定義 j x in left a frac,a...
如何證明收斂數列的任意子數列也收斂，且極限相同？
Houdini.Z 我把 張樂陶 的回答總結一下，你可以將原數列理解為乙個收斂於a的無限長數列，然後子數列是在原數列基礎上按一定規則取另乙個無限長數列，無論規則如何，只要是無限長的那麼它的極限必然與原數列相等。希望這麼說能幫助你理解。 原子筆 把數列看成曲線的取樣，能收斂就保證了取樣點序列中不會有違...
在有界數列空間l 上能否定義乙個有界線性泛函 ，使得 x 是有界數列x的聚點？
Bingyan Liu 2 28日更新 已完成習題時間中所有命題的證明，算是給二月份乙個交代.為王箏老師留做習題的部分補充證明.首先重述一下超濾子的定義 定義一集合 上的濾子 filter 是指 的子集族 滿足 1.非空 2.不是 的子集全體 3.有限交封閉 4.上閉 定義二集合 上的超濾子 ult...