1樓：Houdini.Z
我把 @張樂陶 的回答總結一下，你可以將原數列理解為乙個收斂於a的無限長數列，然後子數列是在原數列基礎上按一定規則取另乙個無限長數列，無論規則如何，只要是無限長的那麼它的極限必然與原數列相等。
希望這麼說能幫助你理解。
2樓：原子筆
把數列看成曲線的取樣，能收斂就保證了取樣點序列中不會有違反極限定義的子集。
現在子數列的取樣點顯然是原數列的子集，當然就依然能保證取樣點序列中不會有違反極限定義的子集咯。
公升維打擊，療效顯著。
3樓：[已重置]
子串行的「腳標列」實際上是證明子串行各種性質的關鍵。然而，很多教科書對它的處理，是相當粗糙的（如你問題描述的圖中所示，就很是典型的一種反面教材）。
其實這就是一層窗戶紙，捅破了之後一切都會了，不捅破就總有種說不清弄不明要靠「摸索」的感覺。
本質上，子串行的「腳標」也是乙個序列；而任何乙個子串行的腳標，都對應著定義在自然數上的某個單調嚴格遞增的函式 （即滿足性質： f\left(n\right)" eeimg="1"/>）；換言之，如果原序列是 ，那麼子串行就是 ，其中 單調嚴格遞增。
而自然數的單調嚴格遞增函式 本身就有幾個不平凡的性質，可以直接用來證明關於子串行的各種性質：
；一定是單射；
。這幾條性質證明起來都是「顯然」、「平凡」，數學歸納法可秒（說實話，數學歸納法的入門級練習題比這還要難一些呢）。
但這幾條性質卻很好用。就拿你的問題來說吧，證明的唯一難點就是在子串行裡具體地找出能滿足序列極限之 定義的那些腳標——如果採用你教材的那個粗糙定義，總給人一種話沒說清楚的感覺；但如果採用單調嚴增函式的定義，性質3其實直接給了答案。
4樓：LLAA
直觀上講，數列收斂是一種「趨勢」，就像天下大勢，浩浩蕩蕩，順之者昌，逆之者亡。。。而子數列是被「裹挾」著向極限靠近。
首先讓我們複習一下數列極限的定義:
來自某度百科
可以看出，要說乙個數列的極限存在，我們需要確定的量有兩個:1.極限a，2.通常與epsilon有關的乙個正整數N。
設有乙個收斂的數列｛a_n｝以及它的乙個子數列｛a_(b_n)｝，於是首先我們知道有對於任意的n總有b_n>=n。
回憶一下上面的定義，我們需要證的是：對於任意給定的ε>0，存在正整數N滿足當n>N時總有|a_(b_n)-a|<ε。
因為｛a_n｝就是收斂的，所以說存在乙個正整數N'滿足對於上面那個給定的ε來說，只要n>N'，總有|a_n-a|<ε。
而對於任意乙個大於N'的n來說，它所對應的b_n自然也大於N',所以|a_(b_n)-a|<ε成立。
於是，對於給定的ε，只要取N=N'(｛a_n｝收斂保證了N'存在)，那麼便有對於任意n>N總有|a_(b_n)-a|<ε。也就是說數列｛a_(b_n)｝收斂於a。
事實上，這是個比較簡單的定理。寫了這麼多是把所有的事情都揉碎了講的結果。之所以題主不能理解教科書上的證明，大概是因為尚未完全理解極限的概念。
如何用有限覆蓋定理證明有界數列必有收斂的子列？
鍵山怜奈 對於數列 記 n right eeimg 1 n right eeimg 1 構造閉區間族 顯然，對於任意有限集 記 則對於 N eeimg 1 有這也就說明了閉區間族具有有窮交性質，因此閉區間族交集非空閉區間的交集一定是閉區間，即 接下來遞迴定義 j x in left a frac,a...
數列收斂的充要條件是它的任何子列都收斂，這句話是不是不夠準確？如果它的所有收斂子列極限不相同呢？
龔漫奇 夠準確，如果他有兩個子列的極限不同，則把這兩個子列組成乙個新的子列 即把兩個子列的下標組成的集合並起來，形成乙個新的集合，用這個新的集合做下標，建成乙個新的子列 則這個新的子列的極限，根據原命題必須存在，所以你說的兩個子列的極限不同這種情況是不可能有的。也就是說，如果乙個數列的極限存在，那麼...
如何通俗的理解收斂數列的保號性？
已登出 通俗就是指用不精確的普通語言來替代數學的精確語言以描述事物吧。既然這樣，其實蠻好講的，正數邊上都是正數，所以要接近這個正數，必然會先接近圍在邊上的正數，負數也一樣理解，這個就像你在家裡，別人要現場見你面，就一定要先到你家附近一樣。 十五引箜篌 準備工作 有理數有無限個。不能理解的請繞道。因此...