1樓：鍵山怜奈
對於數列
記 n \right\}" eeimg="1"/>， n \right\}" eeimg="1"/>
構造閉區間族
顯然，對於任意有限集
記 ，則對於 N" eeimg="1"/>，有這也就說明了閉區間族具有有窮交性質，因此閉區間族交集非空閉區間的交集一定是閉區間，即
接下來遞迴定義
j_|x_\in \left( a-\frac,a+\frac \right)\right\}" eeimg="1"/>
則 是收斂於a的子列
只不過，這裡雖然用到了有限覆蓋定理的等價形式，但是由於這裡的閉區間是區間套，所以實際上可以直接通過計算m的上確界和M的下確界得到交集非空
2樓：西伯利亞狼
考慮乙個有界數列 ，必然存在乙個有界閉集 ，使得數列每一項都落在 裡面。用反證法，假設該數列沒有收斂子列，則對於 中每一點 ,存在正數 ，使得在開區間 中只有數列 的有限項。 構成了 的乙個開覆蓋，從而存在有限個點 ，使得 。
由於 中只有數列的有限項，從而得到 中只有數列的有限項，矛盾。
這是數分中實數的完備性很基本的結果，方法也比較重要。
怎樣直觀的理解有限覆蓋定理？
清雅白鹿記 有限覆蓋定理指的是從覆蓋閉區間的無限個開區間中能選出有限個開區間也覆蓋這個閉區間。為什麼被覆蓋的區間只能是閉區間呢？反例 如果被覆蓋的區間是開區間，比如有可數個開區間 1 1 n,2 n 1,2,覆蓋 1,2 但是只有當 n 趨向於無窮的時候才能覆蓋，無法找到有限個這樣的開區間來覆蓋開區...
關於有限覆蓋定理還是有點不懂，為什麼只能對閉區間適用呢？
William 如果是開區間，假設為 0,1 則H 是它的乙個無限開覆蓋，無論n取多大，總存在乙個區間 0，1 n 不被覆蓋。而如果是閉區間，假設為 0,1 則H 是它的乙個無限開覆蓋，不論n取多少，總存在乙個區間能完全覆蓋 0,1 所以對於開區間，對從區間內逼近的這種無限覆蓋，不能取有限覆蓋。 理...
這裡為什麼要運用有限覆蓋定理去解決，有點不太懂
朝聞道 因為有限集的優良性質比非有限集更多 在很多情況下，很難找到乙個滿足較強限制的條件，這個時候，用 有限 這個相對較弱的 限制條件 來代替 非有限 這個較強的 限制條件 無疑是非常方便的 比如對上例而言，將非有限替換成 有限 的，原因就在於任意有限數，如果由無數的數的和得到，z則這些數的集合的上...