1樓：清雅白鹿記
有限覆蓋定理指的是從覆蓋閉區間的無限個開區間中能選出有限個開區間也覆蓋這個閉區間。
為什麼被覆蓋的區間只能是閉區間呢？
反例：如果被覆蓋的區間是開區間，比如有可數個開區間(1-1/n,2) (n=1,2,...)覆蓋(1,2)，但是只有當 n 趨向於無窮的時候才能覆蓋，無法找到有限個這樣的開區間來覆蓋開區間(1,2)。
為什麼用來覆蓋的開區間只能是開區間？
反例：比如閉區間[0,1]，取一系列閉區間[1/n,1]，這無限多個閉區間的並是[0,1]，那麼這一系列閉區間[1/n,1]是[0,1]的乙個閉覆蓋，但是這個閉覆蓋裡不能找出有限個子覆蓋，因為如果是有限多個這樣的閉區間，那麼0必不屬於這些閉區間的並，也就是說[1/n,1]的任何有限子覆蓋都不能覆蓋[0,1]。
為什麼要用有限個開區間來覆蓋呢？
目的是想把無限化簡為有限，複雜化簡為區域性的簡單。類似於微積分中微分是把曲線區域性的用切線代替，然後區域性的用矩形代替曲邊梯形進行積分。
定理搞得這麼繞具體什麼用？
要理解這個定理，主要是要看它有什麼用。
主要是溝通了無限和有限的關係，把無限化簡為有限可以方便某些證明，例如，閉區間連續函式必有界：由於函式連續，那麼每個開區間上函式有界，而由定理存在有限個開區間覆蓋全區間，那麼對應的有限個界的最大值就是整個閉區間的界。
還可以證明閉區間連續函式必一致連續等等。
2樓：McCree
有限覆蓋定理:有限閉區間【a,b】，對於他的任意乙個開覆蓋，從中取出有限個開區間，仍可以將【a,b】覆蓋。
而將條件改為有限開區間(a,b)則不行。例如，開區間族(1/n,1)覆蓋了(0,1)，但從(1/n,1)取出有限個開區間，能覆蓋(0，1)嗎?顯然不能。
因為0的ε鄰域有無限個點，有限個是無法覆蓋無限個的。
開閉不同在於左右兩點，而閉區間省去了上面的矛盾。若開區間族要覆蓋閉區間【0,1】，那麼，那麼這一族開區間裡必然已經有了0，1這兩個點。而開區間(0，1)則不同，他的一族開覆蓋(1/n,1)可以不用包含0，所以出現了上面的矛盾。
同理，將條件改為無限區間也不行最後，說下直觀上，其實就是實數連續性的體現。
(a,b)中a的ε鄰域有無限多項，你要麼就包含我這個a點，這樣有限個開區間就能覆蓋(a,b)。
要不就拿無限多項來任意逼近我，這樣無線多個才開區間能將(a,b)覆蓋。(顯然上面那個例子是後者)
3樓：
我也不懂這個題，在乙個qq群問出來的
比如 【0，1】可以被 （-1，1/5） （1/n，1）n=1，2，… （1/2，2）覆蓋這區間有無窮個那麼一定可以找出有限個 （-1，1/5） （1/6，1） （1/2，2）覆蓋
不知道對不對啊
4樓：彭柯堯
緊緻性一直是分析學裡乙個重要的性質，是閉集的推廣。
有限覆蓋這個說法源於海涅-博雷爾引理，乙個關於閉區間的定理，在實分析總起了至關重要的作用。之所以叫緊緻性是源於其另外乙個等價命題:任意無窮子集必有極限點。
緊這個說法很形象，如果裡面足夠有多的點就會很密集(就是有極限點)。
一般來說，在分析學裡用到閉區間的性質基本上就是這兩個，特別在證明有最大最小的情況。我印象比較深的就是關於「閉區間上的連續函式必一致連續」一致連續意味著在固定的Δx由於這個性質特別好用，自然要推廣到任意拓撲空間去了。所以緊緻集就是閉集的一種推廣，事實上，豪斯多夫空間裡的緊緻子集就是閉集。
在舉個例子，在微分幾何裡面，要證明著名的斯托克斯定理的時候，為了把各種奇奇怪怪的流形上的積分化成能和上一樣的黎曼積分就要用到單位分解(一族函式)但是要得到有意義的函式，還是必須是有限的乙個函式去乘乙個常數，要讓這個函式有限，就必須要區域性有限覆蓋。所以這個時候有限覆蓋意思非常重要的。
所以要理解有限覆蓋，必須要先從閉區間上開始理解。
記住其要害:把無限個物件化成了有限個物件。
如何用有限覆蓋定理證明有界數列必有收斂的子列？
鍵山怜奈 對於數列 記 n right eeimg 1 n right eeimg 1 構造閉區間族 顯然，對於任意有限集 記 則對於 N eeimg 1 有這也就說明了閉區間族具有有窮交性質，因此閉區間族交集非空閉區間的交集一定是閉區間，即 接下來遞迴定義 j x in left a frac,a...
關於有限覆蓋定理還是有點不懂，為什麼只能對閉區間適用呢？
William 如果是開區間，假設為 0,1 則H 是它的乙個無限開覆蓋，無論n取多大，總存在乙個區間 0，1 n 不被覆蓋。而如果是閉區間，假設為 0,1 則H 是它的乙個無限開覆蓋，不論n取多少，總存在乙個區間能完全覆蓋 0,1 所以對於開區間，對從區間內逼近的這種無限覆蓋，不能取有限覆蓋。 理...
這裡為什麼要運用有限覆蓋定理去解決，有點不太懂
朝聞道 因為有限集的優良性質比非有限集更多 在很多情況下，很難找到乙個滿足較強限制的條件，這個時候，用 有限 這個相對較弱的 限制條件 來代替 非有限 這個較強的 限制條件 無疑是非常方便的 比如對上例而言，將非有限替換成 有限 的，原因就在於任意有限數，如果由無數的數的和得到，z則這些數的集合的上...