1樓：Leonhard
你的感覺沒錯，確實容易產生這樣的感覺。因為緊緻性（簡稱緊性）的定義本身是與實數連續性沒什麼關係的（我更願意稱這裡的「連續性」為完備性，因為我總感覺連續性是用來描述對映的，完備性更科學一點）。
首先，什麼是緊性？就是任意開覆蓋都有有限子覆蓋。怎麼理解呢？
實際上，緊性就意味著一種「有限性」。它彷彿條條框框的約束，把乙個集合的性質約束得很「有限」，這就是緊。具體來說，就是：
緊集必是有界閉集。也即，如果乙個集合是緊的，那麼首先它不能無界，其次不能開。無界和開有一種共性：
沒有邊界（boundary），也就是沒有了「緊」的束縛。反例當然很容易舉，隨處可查。通過閱讀反例你大概可以更理解到我的意思，也可以明白為什麼這樣定義緊性。
那麼，這又與實數的完備性有什麼關係呢？實數的完備性指出的是，在實數集中，有界閉集都是緊的，結合上述文字，也即這二者等價。僅以 為例，我們來回想一下這個定理的證明過程，大致是這樣的：
利用反證法，對乙個有界閉區間，將其無限細分，且每次都存在細分的區間都不能被有限開集覆蓋（否則矛盾），最終由閉區間套定理得到乙個聚點，它的開鄰域可以覆蓋無限細分的那個區間，矛盾。這裡哪用到了完備性呢？閉區間套定理。
怎樣直觀理解這個證明的想法？實際上我們可以倒過來看。乙個孤立點當然是緊的，可以說它的一切都被限制（約束）了。
由於實數的完備性，每個孤立點之間沒有「空隙」，因此，它們可以共有這種緊性，也就是說，可以把這種緊性「連起來」，從而整體上也表現出緊性。反之，若我們考慮不完備的空間，那麼在「連線」的過程中就會出現連線處「連不上了」的情形，也就是連線處沒有邊界，從而破壞了約束（緊性）。這在證明中就體現為，每個有界閉區間都可以化歸到它的乙個聚點上去處理，如果全空間不完備，恐怕就不能如此操作了。
簡言之， 的完備性保證了緊性的「不變性」。反過來也成立，可以想一想如何用有限覆蓋定理去證明其他的完備性定理。
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