1樓：「已登出」
這個東西你得靠舉例子來理解。而且得重點關注有理數域和實數域的區別。尤其是關注其中的無理數問題。數學是個抽象的東西，因此在數學描述中，需要用到邏輯上的嚴格性來保證。
連續性和稠密性，直觀的看，都是來描述實數域中的元素很多這個特點的。但是描述的方式和程度是不一樣的。稠密是一種正向的描述，也是比較容易的描述，但是呢，還不夠。
因為大家發現了，稠密的描述還有漏洞。有理數域即使滿足稠密性，但是還是存在空檔，不能解釋無理數的問題。不能回答2的平方根這樣的問題。
大家發現，有理數域不完備，我們可以輕鬆的通過有理數構造乙個問題，但是這個問題不能在有理數範疇內完全解答。就好比我們在自然數上規定了加減乘除、但是立刻就發現自然數不夠用了，不能表示負數、分數。同樣，有理數也存在這個問題。
我們就仿照把自然數擴充為整數、進一步擴充為有理數、再進一步擴充為實數。
對於自然數、整數、有理數的定義，都充滿了直觀的特性，還是在加減乘除範圍之內。但是對於實數，加減乘除這種買菜級別的數學語言已經不夠了，需要用到極限的語言，也就是極其專業比較高深、比較抽象的語言。
對於連續性，可以用戴德金分割來理解2的平方根的問題，通過乙個有理數組成的數列的極限，來定義乙個無理數。通過這種方式，表明了有理數、實數之間的區別。對於有理數而言，存在乙個收斂數列居然沒有極限的可笑的、荒唐的情況，這顯然是不能接受的。
對於這樣乙個荒唐的、怪胎的極限，我們需要承認這是乙個數、乙個超越了有理數的數，因此提出了實數的概念。
2樓：二甲
首先，數學裡任何概念都是具體的。並不是說連續性是乙個抽象的概念，確界存在定理說明了這個概念; 而是確界存在定理就是實數的連續性。
其次，當然，任何乙個愛思考的人都會想為什麼實數系滿足確界存在定理這個性質被叫做連續性。從戴德金切割定理的角度比較好理解(戴德金切割定理和確界存在定理是等價的)。戴德金切割定理可以理解為，實數軸是一條繩子，拿一把刀不管從哪個位置切下去，都會切到乙個點(如果這條繩子上的點是不連續的，就有可能在某個位置切空)。
第三，實數的連續性又叫完備性。完備性應該是確界存在定理的乙個直觀叫法，是指實數對求極限這種運算是完備的; 連續性應該是戴德金切割定理的乙個直觀叫法。
第四，你也許會想，教材裡怎麼不寫清楚，害我還要上知乎上問。我想告訴你，數學是思考的藝術，只要大膽的回應自己內心的疑問，在把教材上的例題看明白之後，你不上知乎問也能想明白的。這就是數學的魅力，自由的思考，發現思路能和幾百年來成千上萬個智慧型的頭腦交匯。
第五，如果學起來吃力，不妨換本教材，推薦復旦大學陳紀修的《數學分析》，循循善誘。如果還不過癮，推薦菲赫金格爾茨的三卷本《微積分》，我第一次讀這本書的時候感動的差點流下淚來(心中的諸多疑問這本書裡都講的清清楚楚)。
第六，忘了說稠密性，名副其實，很好理解。稠密性就是說任何小的乙個區間裡都存在乙個實數（有理數也有這樣的性質），嚴格的說法看教材裡解釋即可。和連續性不是一回事。
3樓：
數學上對稠密性是有嚴格定義的
但是好像沒有說乙個集合在另乙個集合裡面是連續的，剛剛想了下，好像也沒有合理的定義。。
題注能說說你的書上對集合的連續性咋定義的麼
4樓：cvgmt
連續性，說明實數與我們關於直線的直觀對應---直線沒有斷開。
稠密性，應該是指有理數這個子集在整個實數中是稠密的。說明任意實數都可以用一列有理數去逼近。
我們說 Q 在 R 中是稠密的。
當然，其他包含 Q 的集合也在 R 中稠密。R 也在 R 中稠密。
實數的稠密性和完備性是同一性質嗎？
予一人 實數的稠密性，是說任意兩個實數之間總存在第三個實數 實數的完備性，也就是實數的連續性，是說實數是乙個連續統，它具有滿足單調有界原理等六大實數基本定理 這些定理是彼此等價的 的那種性質。為了理解稠密性與完備性的不同，可以比較一下有理數和實數的性質。有理數和實數都具有稠密性，但實數還特別地具有完...
有限覆蓋定理和實數連續性有什麼關係？
Leonhard 你的感覺沒錯，確實容易產生這樣的感覺。因為緊緻性 簡稱緊性 的定義本身是與實數連續性沒什麼關係的 我更願意稱這裡的 連續性 為完備性，因為我總感覺連續性是用來描述對映的，完備性更科學一點 首先，什麼是緊性？就是任意開覆蓋都有有限子覆蓋。怎麼理解呢？實際上，緊性就意味著一種 有限性 ...
求問 僅看實數的稠密性是不是就是最高端的無窮大量了？
戲劫 這問題把我看暈了。要是說集合基數的話，由無最大基數定理保證了集合的基數是沒有最大的。所謂稠密性，一般指有理數，指的是每乙個開集中都有某個集合中的元素。 Spark 稠密性 和 無窮大量 是兩個不同的概念，定義如下 實數的稠密性 無窮大量 0，都存在N,使得n N 時 x n M 總成立，則稱 ...