1樓：y'Lccc
現在這個階段還不用太去糾結0.999999……=1.0000……的問題，這其實是實變函式論的問題，在這個證明裡出現只是為了避免出現0.
99999……與1.00000……相等且寫法不同的問題，我們直接按照正常寫法1.000……=1的思路來寫。
然後，我來說一下這個定理的證明。本定理描述的是實數集的上下確界性質，這事實上只是實數集的拓撲性質之一，與它的代數結構沒有很大的關係，而且在拓撲學上可以證明：
乙個集合擁有上確界性質i.f.f.這個集合擁有下確界性質。
其中，上確界性質指的是，有上界的子集都有上確界。
所以本質上只需要去證明實數集擁有上確界性質（即：有上界的集合都有上確界），然後利用再證明一下上下確界性質的等價性即可。進而，我們開始考慮上確界性質的證明。
證明的思路就是，如果乙個數集有上界，那麼它的整數部分一定是有界的（obvious）。
設集合S0，在S0的數就是所有整數部分為α0的數，不在S0的自然就是整數部分比α0小。進而繼續用這樣的方式來表示集合S內所有的數。為什麼這樣迭代下去可以得到S內所有的數呢？
因為既然S內的數都是有上界α0的，所有有上界α0的數也是有上界α0.α1的，用這樣的方式就可以得到所有上界為α0.α1α2……的數，即S。
2樓：Vain
在實數的定義裡，0.9999....不是實數。
因為1和0.999...顯然相等，為了保證表示的唯一性，規定實數不出現無限9迴圈。
n0是乙個正整數。Sn0就相等於S1，S2...只不過下標是n0而已。
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清雅白鹿記 實數的 7 個基本定理以不同形式刻畫了實數的連續性，它們彼此等價。實數的連續性，幾何上是實數布滿整個數軸沒空隙。就拿確界定理來說，如果實數不能布滿整條數軸而是有空隙為 x，也就是 x 不是實數，把 x 左邊的點看成乙個集合 A，x 和 x 右邊的點都是 A 的上界。由確界定理，A有上確界...