1樓：清雅白鹿記
實數的 7 個基本定理以不同形式刻畫了實數的連續性，它們彼此等價。
實數的連續性，幾何上是實數布滿整個數軸沒空隙。
就拿確界定理來說，如果實數不能布滿整條數軸而是有空隙為 x，也就是 x 不是實數，把 x 左邊的點看成乙個集合 A，x 和 x 右邊的點都是 A 的上界。
由確界定理，A有上確界，那麼問題來了，A 的上確界是誰，是 x 嗎，它是上界中最小的，但是顯然不是，因為 x 不是實數。
既然找不到 A 的上確界，同理 x 右邊的數集就沒有下確界，那就和確界定理矛盾，所以實數沒有空隙。
2樓：高數變簡單
這幾個定理（1.確界原理. 2,單調有界定理,3.
區間套定理.4.有限覆蓋定理.
5.聚點定理. 6.
柯西收斂準則）都可以彼此匯出，本質上都是實數集的連續性所致。你還是要首先明白實數集為什麼連續才行，明白之後，這幾個定理都可以通過實數集的連續性匯出就不是什麼大問題了。如果你想通過這幾個定理中的任何乙個來匯出實數集的連續性，那麼你最終可能還是無法理解實數集為什麼連續，因為通過這幾個定理中的任何乙個來匯出實數集的連續性都太抽象了，不好懂，甚至會把你搞得雲裡霧裡的。
要明白實數集的連續性，請看我的這篇文章
從有理數到實數和數的連續體 - iMath - 部落格園看完後相信你會有撥雲見日的感覺！
3樓：Derek
很久之前看到過這個問題，實數（系）的連續性的確可以這麼表達。先上主要結論：除了確界存在定理（1）是可以很直觀的看出實數的連續性，（2）-（6）似乎與實數連續性很難扯上關係，但是（1）-（6）都反映了實數的完備性，經過證明可知連續性等價於完備性，因此（2）-（6）也反映了實數的連續性。
然後分別回答：
1. 確界存在定理，它的作用很大（其實基本定理的作用都非常大），比如說，利用確界存在定理可以證明有理數不具有連續性，是具有「空隙」的；比如說是極限理論的基礎。那麼，假設有「空隙」（設為a），那麼在數軸上，「空隙」的左邊存在上界，因為，有，根據確界存在定理，它必有上確界，但與原假設矛盾。
同理，「空隙」的右邊亦如此。因此，沒有「空隙」。我們稱「實數系連續性定理——確界存在定理」。
6. Cauchy收斂原理，也可以用來判斷數列是否收斂，這個原理表明由實數構成的基本數列必存在實數極限——又稱之為實數系的完備性（實數集合是乙個完備空間，而有理數系不是乙個完備空間，舉例：是乙個有理數構成的數列，但它的極限是無理數）——實際上在實數系中，完備性與連續性這兩個概念是等價的。
2. 單調有界定理，可以利用實數系連續性定理——確界存在定理+語言證明，它的作用包括了從數列本身來研究數列的斂散性，可是這跟實數的連續性/完備性有什麼關係？我個人覺得是因為，這個定理是由實數系連續性定理推出的，因此反映了實數的連續性。
此外，單調有界並存在極限這一定理在有理數集上是不成立的（見上例），而在實數集上是成立的，其原因也是在於實數的連續性。
3. 閉區間套定理，則是利用了實數系連續定理+單調有界定理證明的，它的作用包括了證明實數集是不可列集。與2同理。
4. 有限覆蓋定理，又稱Heine-Borel定理（下文簡稱H-B定理）。H-B定理就是說，若開區間集S覆蓋閉區間[a,b]，則S中有有限個開區間覆蓋閉區間[a,b]，它可由區間套定理證明。
（嗯...暫時不知道要說啥好，感覺前面說的都挺多了）
5. 聚點定理，又稱Bolzano-Weierstrass定理（下文簡稱B-W定理）。首先，我們要明確什麼是聚點，設A是直線上的點集，a是乙個定點，若a的任意領域內都含有A的無限多個點，則稱a為點集A的乙個聚點。
聚點定理可表述為：直線上的有界無窮點集至少有乙個聚點。並且，我們還有B-W定理（緻密性定理）——有界數列必有收斂子列。
我們可以由定理1推出2推出3推出4推出5推出6，因此我們說實數系的連續性（定理1）包含了完備性（定理6）；同理，我們可以證明定理6推出3推出1（全部倒推一遍也同樣成立）。兩個結論結合在一起，我們說實數系的連續性等價於實數系的完備性。那麼，在這裡用到的1、2、3、4、5、6自然反映了實數的連續性（定理1）。
所以這裡所說的反映實數的連續性，個人認為並不是每乙個定理都像確界存在定理一樣可以通過「想象」的，只不過是存在著這樣一種等價命題罷了；同時它們也反映了實數系的完備性，是可以比較好理解的，因為在有理數系中這些定理不成立，而在實數系中這些定理成立了。
最後補充兩個稍微偏題的小知識：
1. 除了定理（1）和（2），其餘定理在R^n依然成立，因此也稱為在歐幾里得空間上的基本定理，也同樣等價。
2. 運用定理（1）證明實數的連續性還應該要用到級數知識，才能得到更為嚴格的證明，Dedekind切割定理也同樣可以闡述並證明實數系的連續性，它是以有理數集合切割為基礎推導出實屬的連續性，並且可以通過該定理證明定理（1）。在陳紀修老師的《數學分析》一書中有詳細的關於該定理的定義、定理，與（1）類似，比較直觀地闡述了實數系的連續性。
不足之處，請指正=v=
4樓：
我們以為例來看一看這些定理在有理數域上為什麼不成立（理由數域為什麼不具備完備性 complete ）：
1.確界定理：考慮所有小於的有理數組成的集合，有上界3，但並沒有上確界。因為對於任意乙個充分接近的有理數，我們都可以找到乙個比它接近的有理數
2.單調有界：我們可以從上面的集合中選取乙個單調遞增的有理數列，它沒有極限，因為R。實際上，的單側連分數表示即是乙個單調有界的有理數列
3.閉區間套：我們對使用二分法，每次將包含的區間作為新區間，但得不到乙個確定的數，理由同上
4.有限覆蓋：考慮開覆蓋：，其中為左側的連分數表示，
為右側的連分數表示，這個開覆蓋覆蓋了區間上的所有有理數，但我們選不出有限個區間去覆蓋它們
5.聚點定理和Cauchy審斂：與上述類似，不再贅言
5樓：yuyu
實數連續性沒聽過，應該是完備性吧。這個定理說的是：帶有標準度量的實數集構成的度量空間
有下述的性質
度量空間是完備的(Complete)。(Cauchy收斂準則)設是的子集，那麼是緊緻的的集合當且僅當它是閉的並且是有界的。(有限覆蓋定理)
是的非空緊緻子集的乙個序列，滿足，那麼交集不空。(區間套定理)確界原理和單調有界定理也是因為實數集(嚴格地說是度量空間)是完備的。
如何理解隨機過程中的相容性基本定理？什麼叫高維分布的邊緣分布與低維分布一致？
GaryGuan Kolmogorov相容性擴張定理 設是乙個空間，是的 代數，為非空指標集，表示中有限子集的全體.設是一族概率測度滿足下述相容性條件 其中為到上的投影.則在上存在唯一測度，使得其中為到上的投影.相容性條件是說 從這一部分得到整體與從另一部分得到的整體是相容的，即不能有矛盾.比如盲人...
為什麼網上對聯想產品基本是壓倒性的鄙視 吐槽，聯想卻一直銷量領先？
不棄 第一次致電聯想客服，體驗滿意度挺高的。人工服務沒有讓客戶長時間地等待，有問便答，不會推諉給別處，解答過程很耐心，是一步一步引導客戶去做的。另外，客服涵養也不錯，像我這種電子產品白痴，自己幾次都快忍不住被自己蠢笑了，好囧啊。他居然能氣定神閒 不緊不慢 嚴肅認真地回答 引導客戶。值得掌聲！最後好像...
為什麼公眾需要對科學有乙個基本的了解
世界初祇的邂逅 因為，這是現代人的常識。在我們這個時代，又是在我們這個國家。科學是每個人的必修課，可能是由於近代某些思想的出現，聽專家的話就特別重要，專家當然是科學家。由於我們中國人越來越多是注重物質的需求，物質的實用，而科學能完全滿足。而且我們國家的教育是以科學為中心展開的，所以每個新生兒都要接受...