1樓：龍靜顏
同構，就是一樣——一樣——一樣。 比如 左邊也是n維，右邊也是n維，如果是一一，豈不是同構？
同態就允許有時不一樣。比如 m" eeimg="1"/>
至於保持運算，字面理解不就行了嗎？
2樓：夏瀟瀟
同構就是把英文翻譯為中文，每個英文詞對應乙個（且僅乙個）中文詞！並且中英文的句法規則相同，這是重要的，因為這意味著保持運算（即翻譯）！同態就是把英文翻譯為中文，只不過翻譯有歧義，即有多種解釋！
3樓：陳斌
兩個群,
對映f:g1 g2;
f(a+b)=f(a) *f(b);
f的幾種情況:單射,滿射,雙射(同構)..等等.
4樓：夢涯
我們可以構造一組有趣的同構：顏色與立方體。
以紅綠藍為基的顏色系統，和以長寬高為基的立方體，本質是同構的。在此，我們認為紅綠藍的顏色成分都在 0 － 1 之間，同時，認為立方體的長寬高也是在0 － 1 之間。
於是，對於 [ 0.2, 0.7, 0.
3] 來說，它可以代表以一種紅色佔 0.2，綠色佔 0.7，和藍色佔 0.
3 的顏色。也可以代表以長寬高為 0.2, 0.
7, 0.3 為長寬高的立方體。
如果把顏色和立方體畫在一起：
[0.7, 0.2, 1]:
[0.3, 0.6, 1]:
[0.1, 1, 1]:
5樓：學半
直觀，即幾何直觀。康托爾的連續統假設有數無形，非直觀。其實所謂「連續」也必須是幾何直觀的圖形，有數無形的連續不成立。
題主所問的「同態和同構」也是幾何學的概念，即同一或唯一的物質態的宇宙結構的幾何學模型，可根據公理「宇宙只有乙個」（用「一尺」的動態幾何圖形表示）直觀地理解或求解其內部物質相互作用結構。即理解或求解「一尺」演化為一中有多、多中有一。其「多」用尺上的無窮數值刻畫來表示。
宇宙中的多是一一互相對應而能夠重合相等的，這就是說，宇宙中的物質是相互作用著的，正是這種相互作用構成了運動。參見圖1。
幾何連續統整數——宇宙物質量子化過程的形數結合幾何學形式表現（量子是物質的最小成分）
換言之，上述形數結合刻畫的幾何連續統(圖1-a12及其展開的圖1-a13)即是物質宇宙的量子態的同構模型。（同態即量子態，量子是物質的最小成分。每個量子都相同，即「等畫物也」或《莊子》所謂：
「萬物一也。」 ）
也許可以當作一種發現，數源於一進製記數法，記號0僅界定沒有，有數則僅按1之形[線段]累進記數。而且還發現，所謂「一一對應」只能是幾何對稱，否則不能一一對應。
6樓：qfzklm
舉個例子。。
第乙個群是，其中定義了乙個運算叫「加法」。。
第二個群是，其中定義了乙個運算叫「plus」。。
你說這倆群是不是同構？實際上是不是同乙個群？
保持運算的對映，說白了就是你知道「加法」和「plus」同乙個運算，「一」和「one」是同乙個東西。。
7樓：白白
個人理解，有些不嚴謹。舉個例子會容易理解一些。
同態直觀理解成三角形的相似，三角形的點是集合中元素，邊和角度是運算關係，同態對映將乙個三角形的點集對映到另乙個三角形點集上，將邊，角（運算關係）也對映到另乙個三角形的邊，角上。即三角形的相似關係就是乙個同態對映關係。相似變換就是乙個同態對映。
同樣，三角形的全等關係就是一種同構關係，而全等變換可以看成是同構對映。
8樓：雲天需
抽象的來說，其實同態就是按照事物的本質來比較它們。
比如我有兩袋完全一樣的桌球要比較，我們比較的方式就是分別數有多少個，這其實就是在兩袋球之間構建了乙個對應，由於球都是一樣的，所以這個對應可以很簡單。
接下來換成兩袋水果，每袋裡面都有蘋果和士多啤梨。我們在比較的時候，肯定是要求蘋果對應蘋果，士多啤梨對應士多啤梨。
再變成兒子和父母比較，我們說兩個人像，一定是鼻子對應鼻子，眼睛對應眼睛。
這幾個例子是在說明同態不是簡單的對映，它要體現這兩個事物的內在關係，用數學的語言說，它要保持兩個代數物件之間的代數結構。對於加法同態而言，也就是f(x+y)=f(x)+f(y)。
那麼剛剛提到，這是乙個比較，其實也就是看兩個代數結構區別有多大，用來刻畫這種區別的東西就是kernel和cokernel，理解了這一點就不難理解同構第一定理。
最後，兩個代數物件可能有多種代數結構，有時候它們之間有一種結構是同構的，但另一種可能不是。比如對於兩個A模M和N，同時它們還有H模結構，這時候它們間有乙個A模同構，但是這個同構可能不是H模同態。
9樓：小狐狸M
我們若想研究某一未知代數體系的結構，乙個自然的想法是，通過建立這個未知代數體系與某一已知代數體系之間的聯絡進行研究，而這種聯絡就刻畫了這兩個代數體系之間的相似程度。
我們所能提出的最高的要求，就是讓這兩個代數體系的結構完全一致，這時這兩個代數體系的聯絡就用「同構」進行刻畫。舉個例子，群 和群 之間若建立了同構對映，那麼不僅群 中的每個元素在群 中都有一一對應，而且對於群 中的兩個元素 ，在群運算 下得到的元素 也在這個對映下保持一一對應，如下圖所示。
Fig.1 群同構
同構是兩個代數體系之間最精細的刻畫，然而一般情況下，同構對映很難找到，於是我們退而求其次，提出乙個比同構弱一些的要求：同態。也就是說，我們不要求這個對映是雙射，那此時對這兩個代數體系聯絡刻畫的精細程度就低了很多。
繼續上邊的例子，比如我現在要求這個對映只是滿同態，那麼由同態基本定理有： 。也就是說 對同態核的商群與 是同構的。
我們知道商群中的元素是左陪集，而左陪集的運算歸結為代表元的運算，我們用一張圖來表示這種關係，如下。
Fig. 2 群的滿同態
也就是說，我們雖然建立不了兩個群中元素之間的一一對應，但是起碼我們建立了已知群的乙個子集合和未知群中的乙個元素之間的一一對應，我們對未知群了解的多少取決於這種刻畫的精度，也就是取決於同態核的大小。這樣我們對未知群的結構多少就有了一些了解。
10樓：徵羽宮商
同構就是換個名字，本質不變，同構的兩個群其實是同乙個群，只不過表示群元素的字母不同，兩個群只有結構不同才叫兩個不同的群，結構一樣實際上就是乙個群，這就是為什麼叫同構。
同態不太容易直觀解釋，實際上是乙個商群加上同構，大致可以當成把乙個大的群按某種主要結構縮小，把子結構忽略，在同態對映中就把好幾個處於同一子結構中的元素對映為目標群的乙個群元素，同態對映保持乘法運算，就是說的那個主要結構保留。
11樓：Yuhang Liu
你可以定義乙個二進位制自然數到十進位制自然數的對映，叫做「把乙個數映到它自己」；然後這個對映是個（半環）同構，它保持加法保持乘法——意思是兩個數在二進位制下怎麼加，在十進位制下還是怎麼加，加出來的結果還是能相互對應；還是個雙射。然後你就相信了，二進位制自然數和十進位制自然數其實是同乙個東西，這個世界上只有一種自然數，進製的不同並不會改變自然數半環本身的加法乘法結構以及序結構等等；但是乙個小學生可能很難理解，他會覺得，二進位制和十進位制看起來如此不同，怎麼能把他們看成同乙個物件？
所以同構起到的就是這麼個作用，它抓取乙個數學物件最本質的資訊（比如上面例子裡的加法和乘法結構），而忽略其他沒那麼重要的資訊（比如進製），然後把具有相同「本質資訊」的物件視為一體。「同構」或者更一般地，「取等價類」這種思想觀念其實在你學抽象代數之前早就有了。比如「三個蘋果」和「三個香蕉」在只考慮數目的情況下「同構」，他們幫助你給出了3這個抽象的數學概念。
再比如兩個全等的三角形可以被視為一體，但是他們被擺放的位置明明不同，但是你知道，在很多情況下，位置的資訊並不重要，重要的是三角形本身的幾何資訊，比如邊長、內角等等。
至於同態，那比同構的含義更廣一些。它是在兩個本質不一定相同的數學物件之間建立聯絡；比如自然數半環包含進實數域的那個包含對映，就是乙個（單的）半環同態，它告訴你自然數可以視為實數這個更大的結構的一部分——而不是說自然數和實數是一回事。所以同態相當於是兩個數學物件之間的「紐帶」。
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