1樓：觀學
物理意義不好說，高階微分的幾何意義倒是非常清楚的，請看這個回答，看完就全明白了：
2樓：
微分來自於差分，長話短說，y的差分也就是Δy1=y2-y1。(以向後差分為例)
差分可以重複，二階差分就是
ΔΔy1
=Δy2-Δy1
=(y3-y2)-(y2-y1)
=y3 - 2*y2 + y1
當y1,y2,y3非常接近時，Δy就是dy了。
模擬一下，所謂微分是已知變數兩個相鄰的值，求它們的差。然而二階微分需要已知變數相鄰的三個值，求y3-2*y2+y1的值。這樣還可以理解公式
dy=y''(dx)+y'dx
的含義。不再需要假設dx=0。
以此類推，高階微分也可以理解了。
3樓：焚琴煮鶴
回答如圖
題主可能是忘了f'(t)=g(t)本就是你設定的乙個前提吧。
⑥式中，須認定ds=v(t)dt，才有意義。
還有題主最後的疑問。數學跟物理的確很接近，甚至部分數學問題用物理思維去思考會很容易，但兩者是有些許差別的。高階微分可以利用物理去輔助理解，但兩者畢竟不同。
還有，微分並不是一種近似，而是極限。
極限思維貫穿整個微積分。
4樓：駝背魚
有朋友提到泰勒公式，能否具體說一下泰勒公式與這個問題的關係? 我的困惑在於 "我認為位移S的二階微分d2S 在物理意義上等價於速度Ⅴ的一階微分dv，兩者都表示速度的增加量" 我的這種理解是否正確? 如果不正確，那位移二階微分d2S與速度一階微分，兩者在物理意義上是怎樣的一種關係?
@張三先生
@折光@AoPop
@雲翔再次回答
在高階微分與低階微分的關係上，我琢磨了許久，剛才有了個想法，可能是理解這個問題的思路，確實與泰勒展開式有關 。我說一下，大家看看，我這思路是否正確:
① 我原先認為 "位移的二階微分d2S 與速度的一階微分dⅤ是同乙個概念，都表示速度的增加量"。這種理解是錯誤的。
正確的"是位移的一階微分dS表示位移的增量，位移的二階微分d2S還表示位移的增加量，位移的三階微分四階微分…n階微分，都表示位移的增加量，只是不同階的微分表示增加量的等級不同，但都表示位移的增量，與其他物理量沒有關係。
同理，速度的一階微分dⅤ表示速度的增加量，速度的二階微分d2v也表示速度的增加量，速度的n階微分也都只表示速度的增加量，與其他物理量無關。
正確的理解高階微分與低階微分的關係，蘊含在泰勒展開式中。 位移的一階dS微分只是對▽S的一種線性近似。dS要逼近▽S，還需要增加其他量。
可以加上二階微分d2S，這樣 ds+d2S 就比ds更加接近▽S的實際值。就這樣dS+d2S+d3S+…..+dns，一直逐浙的向▽S逼近。
即▽S=ds+d2s+d3s+d4S+d5s+……+dnS+…
而速度增量▽Ⅴ=dⅤ+d2Ⅴ+d3Ⅴ+….+dnⅤ+…
高階微分與低階微分的關係是不是可以按上述的思路去理解? 我的公式可能不嚴謹，各階微分前可能有不同的係數。不嚴格推導，只是表達一下自己的思路
5樓：雲翔
微分的物理意義不太好說，幾何意義比較好說。
首先明確一點，微分是一種近似，能理解這一點，下面的就好說了。
對於一元函式而言，某點處的微分就是用這點處的切線來近似切點附近的曲線。
對於二元函式而言，某點處的微分就是用這點處的切平面來近似切點附近的曲面。
三元以上函式已經超越了三維空間，不太好直觀舉例，但道理和一元、二元的情況是相同的。
6樓：張三先生
謝不知道哪兒來的邀。
有誤。其實你自己已經說到了：導數表示"函式值隨自變數變化的快慢"。
dS是什麼？S的增量，
增量要用什麼詞形容？多少。
那什麼用快慢修飾呢？速度，或者說S的增量與t增量的比值。
按上述方式去理解，位移方程S=f(t)的二階微分(d2S)與速度方程Ⅴ=g(t)的一階微分(dⅤ)，在物理意義上是等價的，都表示為速度v的增加量，即 d2s=dv
這裡不對。
S的二階微分和v的一階微分並不相等，因為S的一階微分和v也不相等。
和S的一階微分相等的是v*dt，或者說v是S的導數：dS/dt .
然後邏輯就可以自洽了。
18.2.7更新：
@駝背魚 物理解釋（圖形解釋）如下圖
手殘勿笑。
如何理解微分平坦性 Differential Flatness
善道 平坦性是乙個很好的性質，它是對於非線性系統使用的乙個概念，它可以模擬為線性系統裡的能控性。對於SISO的非線性系統來說，如果使用狀態反饋線性化，經過座標變換後，會得到乙個精確線性化的系統，也就是所謂的Byrnes Isidori標準型。在這種標準型下，從輸出開始的新狀態變數匯出系統直接能控的狀...
高階線性微分方程的特徵方程怎麼來的？
Juliet 其實就是教科書上 338頁 的內容，教科書寫的很詳細，把原理什麼的都寫清楚明了了，注意看紅色劃橫線線部分，應該能解釋你的疑問。我發的原圖，點開應該能載入得更清晰。 考慮一般的n階齊次線性常微分方程 它當然有無窮多個解 如果這個微分方程的其中n個解 假設它們都是無窮次可微的 所構成的Wr...
考研會出計算量很大的高階常係數線性微分方程嘛，最近做這裡的課後題發現特解代入原方程計算量很大？
索隆從不迷路 對於計算量的訓練不應該在乎是哪一章的內容，計算量是貫穿整個數學的個人能力的體現，現在遇到計算量大的題一定要自己慢慢算，一次算不對就二次，三次，四次，這種東西別怕浪費時間，算對一道計算量超大的題就很爽 流盡年光是此聲 計算量不會特別大，可能有些題的計算量對於目前基礎階段算是稍大的，尤其是...