1樓：
這個推導是逗你玩的……就像重整化裡面那些無窮大和 counter term 不過是完整的重整化群計算的縮寫一樣，所謂的「求和所有費曼圖」實際上是先做非微擾的計算，然後再把計算裡面的一些步驟賦予微擾論意義，這樣給懶得好好學場論的小豬講課的時候就能用微擾論的瞎搞辦法騙它們了，要不然按照正確的上課方法上乙個學期的場論乙個真實的振幅都算不出來小豬早跑光了。
實際上這個關係是用 quantum effective action 來證明的。下面簡單起見場的指標就不寫了，算真空期望值的時候路徑積分裡面那些 epsilon term 也不寫了，詳情參考 Weinberg 的第 16 章，我相信 Zinn-Justin 那個大厚書裡也有（應該是第 7 章）……
讓 為 free energy 的 Legendre 變換，對於所有的 Legendre 變換我們都有二階導數構成的矩陣互逆，在這裡是泛函導數之間的關係 。到這裡位置都是嚴格的，畢竟變分法數學上沒有問題，過程中不需要對級數求和，甚至連路徑積分都沒有。現在唯一的問題是怎麼在微擾論下賦予其意義。
第乙個二階泛函導數無非是 (connected) 2-point function，也就是你的等式的左邊。
對於第二個二階泛函導數，通過計算 在 的極限可以知道在路徑積分裡面用 quantum effective action 代替原來的 action 做微擾展開，樹圖階就是（帶有所有 quantum correction 的） free energy，那麼 的係數在微擾論下的解釋就是 vertex function（固定 external line 然後把所有的 1PI diagram 求和），特別地第二個泛函導數在 Fourier space 裡面（可能差點常數我懶得算了）的微擾展開就是 （第一項是就一根線的那個圖，後面就是你熟悉的 1PI 圖），於是我們就得到了你要證的這個關係。對於 spin-1/2 的場請酌情自行新增各種指標和 Feynman slash 調整一下證明的細節。
在 Legendre 變換這個關係中多取幾次泛函導數可以得到比這個傻乎乎的長得像幾何級數的搞法看起來更高階一些的 n-點函式之間的關係，並且在微擾論裡面看都能找到對應的圖論上的解釋，具體細節從 Zinn-Justin 的書裡自己翻……
記住微擾論的展開不是乙個等號，而是從某個大家都不會算的物理量到（coupling constant 作為變數的）形式冪級數的對映（能不能晉公升成函子之類的我不知道……我猜在適當的定義下可以），精神上像是為了研究乙個空間我們先研究一些簡單的函子一樣，從中能提取出來多少資訊是多少資訊，不夠的多找幾個這樣的函子，原則上找的夠多就能重構出原空間的所有資訊來（e.g. Yoneda's lemma），而幸運的是對於最常見的電磁相互作用光從這個對映擷取前幾項（再加一點散射理論）就能和實驗吻合的非常好了，即使是對於數值上對應的不太好的理論，從這個對映身上也能看到很多正確的結論的影子。
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