1樓：維度之上
通常我們把向量理解為乙個有向線段，但實際上這種理解並不好，它只適用於歐氏空間。「大小」和方向才是向量的核心要素。理解了這一點，推廣到微分流形中也就是很自然的事情了。
當然，這裡說的大小和方向並不準確，湊合著看吧。
2樓：yuyu
wiki上Tangent space的頁面上說得比較清楚，切空間有兩種等價的定義：
Definition as velocities of curvesDefinition via derivations第一種方法就是「直觀的切向量」往流形上推廣。它們的對應就是每個第一種方式定義的切向量對應第二種方式定義的切向量，這裡
最簡單的例子就是歐幾里得空間，它裡面每一點的切空間還是，切空間中的每個元素對應的運算元就是方向導數。
3樓：魏挺之
畢竟，如果按曲面微分幾何的做法定義流形上的切向量，就必須先把流形嵌入到Rn裡，而且這種嵌入一般來說沒有canonical的方式。這種方式想必即便可以也相當的醜。
如果定義成芽環上的滿足Leibniz性質的線性對映，一方面它的經典的切向量可以互相轉換，另一方面又能進一步的推廣，比如在復流形裡光滑復值函式的芽環。流形的另一種等價定義是區域性與Rn（作為ringed space）同構的ringed space，芽環上的對映似乎能比較好的銜接到這個概念。
參考文獻：
GTM166, 1.4節
Vector Analysis, Klaus Janich, chapter 2
4樓：馮白羽
我們之所以要研究切向量、餘切向量，正是因為流形上的曲線和函式在區域性上有很好的性質，比如說線性性質。而我們考察線性空間的性質時，當然兩個線性空間如果同構就幾乎可以看做一回事。所以相切的概念本身就是在講，區域性上如果可以用線性空間的行為去刻畫流形的性質，就說這個空間在某種意義上與流形相切。
5樓：zero
我的理解是，切向量（微分運算元）在二維的時候有很好的直觀，所以理解做相切，到了高維或者任意流形只是借用了這個術語而已，再談幾何直觀就不太對了
畢竟流形不嵌入高維空間，你連法向量都沒有，自然不可能直觀的理解相切
至於切向量理解為微分運算元，因為向量在歐式空間很好理解，但是在乙個抽象流形上怎麼定義乙個向量，或者定義乙個方向。只要把方向和這個方向求導的微分運算元等同起來，於是就可以很自然的搬到流形上了
如何理解向量空間的8條公理？
趙者也 這是從群的定義出發的 啥是群，說的直白點，就是凡是可以加法運算的都叫群要知道世界上不止有實數可以加法運算，集合也可以，邏輯運算的真假也可以。隨機變數也可以 當然向量也可以 研究群的學科叫群論，是高等代數的重要分支。群的性質可以直接拿來定義向量的運算。就是這八條了 iiiiiiyi 我看了好多...
如何理解微分幾何中的切空間？
玲瓏不是癯仙 你在Rn裡把切向量當做求方向導數的運算元再推廣到流形就可以了，乙個在M上p點的切向量就是乙個對p點處函式芽 在p處區域性相等的函式的等價類 上的導子 就是滿足求導法則線性性和萊布尼茨法則的運算元 然後具體切向量有兩種實現方式，一種是用區域性座標系取基，比如二維向量原來是x e x e ...
n維空間裡的n個向量的最小夾角的最大值是什麼？
一面千人 原題已經有很多人回答過了,回答得很好.我在此補充一下那道類似的題目的證明.問題 n維空間裡最多存在幾個向量，使兩兩夾角大於90 證明 先構造n 1個向量,兩兩夾角大於90 取單形重心連向它的n 1個頂點形成的n 1個向量即可 再證明n 2個向量中必定有兩個向量內積非負否則,設這n 2個向量...