1樓：師法自然
單看笛卡爾系的x軸方向，選定基矢乙個沿x軸方向，長度為一的向量，把它叫基矢，因為只要前面添乙個數就可以表示x軸方向任意乙個點。基矢代表了一種「方向」
商空間元素的定義的運算很像物理中的笛卡爾座標系中基矢的概念(三維座標下就是沿xyz軸三個方向的單位向量)下的向量運算。
選定乙個子空間就很像給整個空間找了乙個基矢，只不過和笛卡爾座標系相比，座標是向量，而笛卡爾繫在乙個基矢前跟著的是數。
整個空間V在這個基矢M下，添上乙個乙個代表元就唯一確定了乙個集合。
既然基矢有了，那麼同乙個方向的最大線性無關的代表元(這個基矢跟的座標)數就是商空間的維度。
由於M自己的基的代表元是0，模擬之前的知識0不能做為基，所以線性無關代表元最多有n-m個。
不過主流的理解方法還是分劃/分類吧，多數高代課本應該會提及，不贅述。
再補充乙個物理裡頭的例子吧
電磁學裡頭每個的矢勢場都可以看做代表元，同乙個磁場對應的矢勢場只差乙個梯度場。
2樓：anderson
最初我們要看把乙個集合A利用某個等價關係，獲得它的商集B，此時B中的元素已經與A的元素不同了，B也不是A的子集，B中的每個元素才是A的子集，這些子集也就是常說的等價類。
在這個商集B的基礎上，再獲得一些特殊性質後，將會是形成商(線性)空間，商群，商拓撲。
3樓：belupreda
一句話解釋清楚:給定乙個子空間W，商空間就是與W平行的「平直」空間的集合。
如果你恍然大悟的話，不用繼續看。
下面再繼續解釋。
首先說說線性空間，大白話就是：線性空間是過原點的」平直」空間。
平直這個詞是直覺上的說法，你就想象一下直線或者平面吧。
因為過原點，所以線性空間滿足加法與數乘的封閉性。
現在問題來了：不過原點的平直空間不滿足封閉性，不能稱為線性空間，該怎麼稱呼它們？答案：商空間裡的乙個元素。
再看定義：k=。所以，商空間就是把線性空間平移了一下形成乙個元素，這些元素的集合組成了商空間。見下圖：
上圖中，雖然每一條不過原點的線不是線性空間。但把這些線，包括過原點的線，看成乙個個元素，這些元素的加與數乘運算卻滿足封閉性，組成了乙個線性空間。
從集合劃分的角度來看，商空間就是按一定方向，平行的劃分出了無數等價類。所以又可標記為V/W
最後說一點：所有線性方程的解，如果有解，就是商空間裡的乙個元素。形象的理解就是，線性方程的解是從某一點出發，在固定的方向上平直運動。
@要繼續努力呀 在群論裡，商集的意思和商空間對應。群的子群H，對應W。陪集aH與對應，代表元a與α對應。
4樓：Sun Ao
研究數學結構的時候不一定越精細越好，得恰當地將同乙個型別的物件歸為一類。
先舉個不太恰當的例子：假設我們想研究昆蟲的某種特徵。比起分析每乙隻昆蟲的具體的特徵，將所有螞蟻歸為一類、所有蜻蜓歸為一類、所有螳螂歸為一類這樣去比較他們的特徵明顯是要好於把所有昆蟲放在一起比較的。
那麼比較粗糙的觀點就是我們將「所有昆蟲這個空間」商掉一些同型別昆蟲的等價類，得到了（比方說）「所有昆蟲的科」這樣乙個空間，那麼這個空間比起原來的空間結構是要清楚得多的。
其實我覺得很多時候初學高代的同學對於商空間有一些不太理解，還是因為高代中並沒有很好的商空間的例子。
5樓：子虛山上的烏有樹
構造商集的主要目的就是把「多對一」的對映變成「一對一」的對映。在代數裡面稱為同構。
它的基本想法是把原像集裡面對應於像集中同乙個原素的所有元素看成是乙個元素（等價類）。原像集中的兩個元素如果具有相同的像，則稱這兩個元素等價，所有等價的元素放在一起稱為等價類，可以看成是乙個元素，每乙個等價類可以用乙個代表元（可在等價類中任意選取，不唯一）來表示。可以證明，這種等價關係給出了原像集的乙個劃分。
這個劃分後的集合稱為原像集的商集。商集中的元素與像集是一一對應的。這樣「多對一」對映就變成了「一對一」對映。
這個看法很簡單，但是很重要。
對於線性空間這種具體的集合，它的等價劃分可以給的很具體。考慮乙個線性空間到另乙個線性空間的同態對映。按照上述想法對原像集構造出了商空間後，商空間與像空間同構。
在像空間中，元素兩兩互不相同，並且所有元素加上零元後仍然兩兩互不相同（這是等價劃分的關鍵），這些元素並在一起構成整個像空間。由同構關係，對應於商集中，每乙個等價類的代表元加上原空間的核（它的像是像空間的零元）兩兩互不相同，它們的並是整個商空間。這就給出了具體構造商空間的方法。
即拿原空間的乙個元素和它的核加起來，專業名稱叫左陪集。
上面是拿線性空間作為例子，對於群也是一樣，只不過在那裡運算一般叫做乘法，它的同態核是正規子群。
半夜失眠，也不知道說清楚沒，將就看吧。
6樓：
貼乙個以前讀《普林斯頓數學指南》的筆記：
《普林斯頓數學指南（第一卷）》的筆記
頁碼：第39頁2014-12-01 21:26:
43時常是從乙個大得令人絕望而又極為複雜的物件出發，但是「把絕大部分的亂七八糟都分出來除掉了」，結果得到的商結構卻足夠簡單而能夠處理，而仍舊傳遞重要的資訊.
本質上，構造商結構就是這樣乙個過程：將零的概念合理外延，以逐步抹去元素之間細微的差別，這樣整體結構當中的細節逐漸消隱而大的輪廓逐漸浮現。不同的代數結構有不同的零：
群結構的零就是正規子群，環結構的零則是理想。
商結構的概念實際上是非常普遍的。譬如從太空看向地球，鏡頭最初對準地表，看到的是高低錯落的地面和浪花湧動的洋面這樣的小尺度結構，然後將鏡頭逐漸回縮，於是小尺度結構不見了，代之以山脈、平原、洋流這樣的大尺度結構，因此可以認為地圖就是地表的商結構。
通過同態可以很方便的構造商結構，這就是為什麼相比同構我們更看重同態。
7樓：
對空間劃分等價類的時候借助了空間上的結構，所以劃分出來等價類就跟結構產生了關係。把等價類當成元素的集合上也就有了某種結構，就成了商空間。
8樓：
「關於商群，我就說一點個人的思考，希望會對你有點用處。
我從除法開始講：被除數 / 除數 = 商。。。。。。餘數
除法這個名詞英文原詞是「division」，這個單詞本指分割，劃分的意思。
舉個例子：6/3=2，讀作「6除以3等於2，或3除6等於2」，請注意除以和除的不同，其中除以是用什麼除的意思。
如果按照英文原詞的意思來解讀就會是「用3分6得2，或6被3分得2」
接下來回到商群G/N，那就是用正規子群N去劃分群G，這個商群是用子群N以外的元素來表現的，子群N被我們當成乙個單位元（比如0），即把子群N捏成乙個點看待，再加上子群N以外的元素就構成了這個商群。
」以上是我以前對於商群的一些理解（雖然現在的理解更深刻，但以前的也是有益處的），我直接複製過來了，商空間可以照推。
9樓：林東海
給你乙個商空間的物理方面的例子。
現實空間是三維的。當我們在這個空間中研究乙個特定物件（質量恆定）的重力勢能時，發現位置變化並不總是導致勢能的變化。
對於高度相同的位置，重力勢能相同，因此這些高度相同的位置，可以看成是等價的。高度相同的所有點構成乙個平面。這個平面首先是這個三維現實空間的線性子空間。
同時此空間內的點都是等價的，這個平面就可以稱為乙個等價類。
如果把等價類看成乙個元素，則原三維現實空間可以看成由這些平面（等價類）組成的乙個以高度區分的一維空間，這個空間就是商空間。
有什麼用呢？降維了，就是研究重力勢能，你只要考慮高度就歐克了，一維比三維容易得多吧？
再說細點，商掉的二維線性子空間是水平平面，那麼商掉豎直平面可以不？答案是，可以商出來另乙個商空間，但在解決重力勢能時沒有幫助。我們需要商掉的是核空間，就是重力勢能為0的那個線性子空間。
重力勢能的核空間是參考平面（或稱零勢能面），這個平面是水平的。
如果在某個勻強電場，其電場線水平，則研究電勢能時，核空間（零勢面）是豎直的，此時商掉這個方向的豎直平面而得的商空間解決電勢能問題才有意義。
我理解，商空間把不起作用的維度商掉了，剩下的是有影響力的因素，簡化問題。
10樓：玟清
相當於把乙個子集壓縮為一點，換句話說視為乙個等價類，乙個等價類可理解為乙個點。對於集合A和子集B，商空間A/B把B中所有元素視為乙個元素，相當於把B壓縮為乙個點，就像把水分擠乾一樣。只是這樣幹的過程中，需要保證有意義，即A/B不破壞A上的結構。
因此，不同語境下的商空間可能意義會有不同，有時候會有額外的要求。
最常見的商空間是代數裡的商空間。比如，整數模3的商空間，在此商空間中，壓縮成乙個點，但為保持加法群性質，對的壓縮被加法傳播到了其它地方，即3的倍數都視為加法零元，所以商空間只剩3個元素0，1，2。即
這種商空間最常見了，也比較規整，相當於把本來對稱的結構均分成幾份，真的有點像除法了。然而性質越好，要求越多，不是任意乙個子集都可以拿來除的。常見可以除的例子有
群/正規子群，比如
環/理想，比如，成了加法零元，相當於引入了虛數
線性空間/線性子空間，比如，平面沿一條直線平移
它們都是類似的構造思路。
另一種商空間是拓撲空間的商空間。比如，拓撲空間一條線段A=[0,1]，子集B=，則A/B是個圓圈，因為端點變成了乙個點。這種商空間就比較簡單粗暴了。
商空間的主要目標就是壓縮，換句話說就是構造等價類。只不過代數裡的商空間中的壓縮通過運算傳播到了全域性，因而處處壓縮。而拓撲空間的商空間中的壓縮則不一定會傳播。
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