1樓：趙者也
這是從群的定義出發的
啥是群，說的直白點，就是凡是可以加法運算的都叫群要知道世界上不止有實數可以加法運算，集合也可以，邏輯運算的真假也可以。隨機變數也可以
當然向量也可以
研究群的學科叫群論，是高等代數的重要分支。群的性質可以直接拿來定義向量的運算。就是這八條了
2樓：iiiiiiyi
我看了好多有關的回答，最後覺得可以理解成，我們新定義（儘管我們已經知道計算的規則）兩種運算，向量加法，向量數乘，而定義這些運算的法則的方法是公理化定義（也就是用公理去定義），也就是那8個法則。
至於為什麼不直接定義運算的規則，比如說向量加法就是每個元素相加，這樣簡明地定義，可能是因為我們是在為我們的需求而定義乙個我們所需要的空間，從而用公理（推論前提，定的規則）在定義。
最後各個公理的必要性，我暫時不會hhh
這裡這裡：以上
3樓：
我來把這些理一遍。
首先是1的證明：
由4，存在0，使得任意α+0=0並且存在β使得α+β=0。
記這個0為01，那麼對於任意α，0(α)=(0+0)(α)=0(α)+0(α)，令β滿足0(α)+β=01，則有01=0(α)+β=0(α)+0(α)+β=0(α)。也就是任意α，0(α)=01。
最後，任意α，β有：
(α+β)+(-1)(α+β)=(1-1)(α+β)=01
(β+α)+(-11)(α)+(-1)(β)=01
於是1011
2不成立時的例子：
V=R*N，ix=iy時，(x,ix)加(y,iy)=(x+y,ix)，ix≠iy時，(x,ix)加(y,iy)=(x+y,|ix-iy|)，α數乘(x,ix)=(αx,ix)。任意(0,ix)視作相等。
3、4不成立時的例子（4依附於3）：
V=R*N，(x,ix)加(y,iy)=(x+y,max(ix,iy))，α數乘(x,ix)=(αx,ix)。
4不成立時的例子：
V=R*N，(x,ix)加(y,iy)=(x+y,ix)，α數乘(x,ix)=(αx,ix)。（這時1不成立）
6不成立時的例子：
V=R*R，(x,ix)加(y,iy)=(x+y,ix+iy)，α數乘(x,ix)=(αx,ix)。
8不成立時的例子：
k(a,b,c)=(ka,0,0)
還有兩個想不出來。
4樓：
以下沒有乾貨，都是不嚴謹的大白話。
在代數學裡面的話，我們一般不關注集合中的元素本身，我們所關注的是乙個集合的結構（差不多可以這麼說吧）或說元素間的一些關聯。而集合中元素是通過元素間的運算才聯絡起來的的。
比如這8條公理就確定了乙個特定集合中，可以定義這樣的加法和數乘運算。有了這樣的運算，我們也就構建了這個（叫向量空間的）集合裡元素之間的關聯。比如我們明白了在乙個3元陣列組成的集合中定義適當的運算之後就有(0, 1, 1) + (1, 2, 0) = (1, 3, 1), 2(1, 0, 2) = (2, 0, 4), 等等。
這樣，進一步，這個集合可以展示出維數等等結構（維數的概念需要線性相關/無關，而這是通過向量的數乘和加法定義的）。
也就是說，對於乙個向量空間，他的性質和結構是由這些運算確定的，而運算的法則就是通過運算律確定的，也就是題主所看到的這些公理。
最後插一句，向量空間的公理A1可以通過公理A2-A8推出。證明過程如下。
引理1:中有.
證明: 由A7有結合A4, 可以利用消去律有.
引理2:中負元素唯一.
證明: 設為負元素, 由A2有.
引理3:中負元素有
證明: 由A6有結合引理2證畢.
公理A1的證明:考慮對, 存在負元素使由引理3及A5知
另一方面, 由於A2有由引理2知
從而有證畢.
5樓：
代數的公理是運算律。上述8條是從向量空間（陣列）推廣到抽象的線性空間，抽象出的公理，這樣就繼承了陣列的線性相關，線性無關，極大無關組，基的性質。引入上述概念，選定基後，就可以利用同構，將線性空間與陣列建立一一對應，這樣就只要研究較為簡單的陣列。
6樓：白如冰
我就說一件事，向量空間的8條性質這裡有個坑，坑就是第8條，粗看起來這一條跟5-7重複了，實際上不是，不信我這樣定義向量的數乘：
你會發現5-7全滿足。
如何理解切空間裡的向量可以看成微分運算元？
維度之上 通常我們把向量理解為乙個有向線段，但實際上這種理解並不好，它只適用於歐氏空間。大小 和方向才是向量的核心要素。理解了這一點，推廣到微分流形中也就是很自然的事情了。當然，這裡說的大小和方向並不準確，湊合著看吧。 yuyu wiki上Tangent space的頁面上說得比較清楚，切空間有兩種...
商空間的本質如何理解？
師法自然 單看笛卡爾系的x軸方向，選定基矢乙個沿x軸方向，長度為一的向量，把它叫基矢，因為只要前面添乙個數就可以表示x軸方向任意乙個點。基矢代表了一種 方向 商空間元素的定義的運算很像物理中的笛卡爾座標系中基矢的概念 三維座標下就是沿xyz軸三個方向的單位向量 下的向量運算。選定乙個子空間就很像給整...
如何理解向量叢，層，概形的截面？
cohana 下面是用一些抽象廢話來解釋一下 截面 的含義，算是對另兩位答主的補充吧。而向量叢和概形 區域性環積空間 當然算是具體的例子了。本回答是否有助於 真正理解 我不知道 因人而異吧。截面 section 這個概念的直觀要從叢的角度來理解。在最一般的意義下，乙個叢 bundle 即是指範疇中的...