1樓：cohana
下面是用一些抽象廢話來解釋一下「截面」的含義，算是對另兩位答主的補充吧。而向量叢和概形（區域性環積空間）當然算是具體的例子了。（本回答是否有助於「真正理解」我不知道……因人而異吧。
截面（section）這個概念的直觀要從叢的角度來理解。在最一般的意義下，乙個叢（bundle）即是指範疇中的乙個箭頭（這時我們就可以有逆象函子之類的構造了）。當然，為了讓世界更加熱鬧，我們時常考慮各種各樣的帶著結構的集合，比如狹義一點的（拓撲）叢，便是指拓撲空間之間的乙個連續對映。
考慮連續對映 ， 中的任意一點 的上方有纖維 ，而全體纖維給出集合 的乙個分劃，並且被 上的拓撲「綁」在一起，這就是「叢」的直觀。我們也可以粗略地講，各點處的纖維隨著 中的點「拓撲地」變化。
對於叢 ，所謂截面（cross-section）是指乙個連續對映 使得 。顯然 是單射而且把每個點打到它的纖維裡，用圖畫出來就是
這紅色的便是cross-section！
我們還可以談論開集 上的截面，也就是指使得 的連續函式 。
假定讀者已經知道預層和層的定義。對拓撲空間 上的預層 而言（預設取值為集合），人們習慣上將 中的元素稱作 上的截面（section），而將開集的巢狀 所誘導的對映 稱作限制。其實完全可以直接接受這裡的術語，畢竟並不違和——很多典型的例子就是空間上的函式環層什麼的，而限制也就是函式定義域的限制。
中文的「層」本來不是直譯，而更符合我們通常的定義（每個開集 上方有乙個 ，層迭的那種感覺）。那麼同時我們不禁問：這個東西在英/法文中為什麼叫sheaf/faisceau（可以查一下它們本來的意思）？
這其實涉及到從另乙個角度來理解層這個概念，而且由此我們可以把（預）層的「截面」和前面的直觀聯絡起來。
「A sheaf is a bundle of stalks」這句話對於農民和幾何學家都講得通。
對於 上的乙個預層 ，除了開集上的截面，我們還可以通過極限來刻畫「在乙個點附近有定義的截面」。具體而言，考慮包含點 的全體開集連同它們之間的包含，將此範疇記作 ，考慮預層 在其上的限制，它的餘極限 叫作 在點 處的莖條（stalk），記成 。這是集合範疇裡的乙個濾相餘極限（filtered colimit），因而構造很簡單：
它是全體形如 的對（其中 為包含 的開集， ）構成的集合模掉乙個等價關係， 和 等價當且僅當 和 限制在某個包含 的更小的開集 上相同。我們將莖條 裡面的成員 稱作 在點 處的芽（germ）。根據構造，這確實符合前面所說的「在乙個點附近有定義」這一想法。
現在我們將所有的芽匯集到一起，即取全體莖條的不交並 ，又記成 。從它出發自然有乙個到 的對映 將點 處的芽投到點 。接下來就是關鍵：
對於開集 上的任何乙個截面 ，我們總能將其視為乙個函式 ，它將點 變成 在 處的芽 。另外，對於開集 ，限制對映 正是將（作為函式的）截面的定義域從 限制到 （為什麼？）
根據定義，復合 顯然是 到 的嵌入。此時如果我們為 賦以乙個合適的拓撲使得 和所有的截面函式都連續，那麼對於任何乙個開集 ， 中的任何乙個元素就是叢 的乙個截面（cross-section）。
不過故事當然還沒有講完，接下來就簡要說一下後續吧。我們已經知道了從乙個預層 出發，我們可以把它的全部莖條紮起來，從而得到乙個叢 。這樣的叢其實一定是乙個區域性同胚，我們也稱其為 上的平展化叢（étalé bundle），而空間 又叫預層 的平展化空間（étalé space）。
另一方面，從任意乙個叢 出發，將開集 上的截面的集合記成 ，容易驗證 其實是 上的乙個層。這兩個方向都是函子性的，事實上我們有一對伴隨函子 ，且兩邊分別由平展化叢和層形成的滿子範疇相互等價，二者其實是一回事。在一些古老的教科書中，層這一概念正是通過它的平展化空間來定義的！
2樓：
locally free sheaf <-----> vector bundle
另外「層」的翻譯有點兒小問題，其實 sheaf(faisceaux) 和 bundle 其實差不多乙個意思.
截一下，就得到了介面.
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