1樓：玲瓏不是癯仙
你在Rn裡把切向量當做求方向導數的運算元再推廣到流形就可以了，乙個在M上p點的切向量就是乙個對p點處函式芽（在p處區域性相等的函式的等價類）上的導子（就是滿足求導法則線性性和萊布尼茨法則的運算元），然後具體切向量有兩種實現方式，一種是用區域性座標系取基，比如二維向量原來是x·e+ x·e ，現在把e換成De即可。另一種是用曲線的等價類，具體看tu的流形導論那一章就好。
2樓：loveakiha
首先流形的存在是不依賴於座標系和度規的，向量的本質是乙個箭頭，有某個方向和某個長度，即使沒有具體對方向和長度的描述也不妨礙這個幾何物件的存在。
假設你是流形M中的一點p，要怎麼才能搞出來乙個從你出發的箭頭呢？
第一步：隨便找乙個M上的光滑函式f（連續也行），這時你就像拔地而起，被f抬到了天上，高度就是f（p），當然你還可以看到流形中每個人也被高高低低的抬起落下
第二步：隨便選乙個歐式座標系放進M，方便起見假設M是2維的，突然就從你腳下冒出了2個數字，這樣你就獲得了自己的2維座標，以及兩個方向（x和y軸的方向）
第三步：有了方向就缺這個方向上的數字了，那最自然不過的就是在f上對x或y求偏導，這樣你面朝x和y就都有乙個數，你獲得了兩個（M有幾維就有幾個）有方向有數字的玩意兒！但座標系和f卻只有乙個，說明什麼問題？
說明箭頭的本質是給乙個f你能搞出幾組方向數字，這也就是題主說的那個對映，至於這個對映（法則）要如何制定那其實是你的事，只不過在歐式空間中，剛才那種對映是最自然的。
3樓：唐子騫
現代數學是結構主義的，乙個東西具有的性質或者處於什麼樣的結構才定義了它自己，它本身是啥反而不重要。乙個東西能像那樣東西幹嘛也可以作為它的定義。乙個東西能像向量一樣求導方向導數那它就是向量。
構造性的定義往往僅僅是一種具體的實現。
4樓：說愁客
切空間是存在內蘊定義的可以與流形本身在其他空間裡的的嵌入沒有關係。你認為切向量是(3X1)的向量，那是因為你把球面嵌入在在了歐氏空間中，但實際上它也可以被嵌入在別的地方，或者乾脆不考慮嵌入。
所以這個內蘊的定義要比(3X1)向量那個定義更具普適性。
5樓：阿門
說一點點我自己的理解，不一定對
曲線和曲面是最簡單的流形，不妨先重視一下我們以前的理解.
回憶一下我們對引數曲線 上的一點 處的切線怎麼定義的？凡是與 共線的向量.
再回顧一下對於一張2維引數曲面 在一點處 的切平面怎麼定義的？由兩個向量 和 生成的乙個向量空間.
上面兩個例子都定義了在一點的切空間，但是都有個共同的缺陷：它們的定義依賴於外蘊的結構：即它們的引數方程.
什麼是外蘊的結構？意思就是它們是被放到乙個更大的歐氏空間裡觀察的(嵌入)，也就是我們的引數方程，現在要想乙個問題：
如何不用引數方程來定義切空間?這就需要我們去尋找一些曲線和曲面上的內蘊的量，利用內蘊的方式重新給出切空間的定義，然後才有可能把切空間搬到流形上去，因為流形的定義就是內蘊的，它不依賴於往任何歐氏空間裡的嵌入.
首先，最容易想到的是在曲線或者曲面上定義函式，以曲線為例，我們可以定義從曲線到 上的乙個對映： ，而我們之前定義的切線無非就是對引數方程求導，為了顯示出求導的特性，我們可以定義 點處切向量 對這個對映 的的作用： ，可以見得求導最明顯的兩個特徵都滿足：
線性： ；
2. Leibniz律： .
因此原始定義的求導部分可以體現在作用在 上的線性性和Leibniz性，而引數方程的部分，可以體現在 的任意性，即：
對任意的,運算元 滿足：
滿足以上兩點的乙個運算元 就可以作為曲線上一點 處的乙個切向量，並且這時候我們看到，這個定義不再依賴任何外蘊的結構，因此可以搬到流形上面，於是就有了書上面對流形上的切向量的那種定義.
6樓：
在微分幾何中，不能用歐幾里得幾何來理解向量了。
原因是歐幾里得幾何天生自帶絕對平移，絕對平移就是指向量平移與路徑無關。在歐幾里得幾何中可以畫乙個箭頭，無論伸出去多遠，它還在這個空間中。可是在單位球面上，這樣的箭頭就會「支」出去，可是微分幾何研究的是內稟幾何，不允許有箭頭支到乙個沒有定義的地方，因此向量這個東西就不能直接套用。
古典的微分幾何是從研究曲面論開始的，用的方法是微分方程。最基本的需求不是把向量搬到微分幾何，最迫切的需求是把求導、求偏導（都是方向導數），把求方向導數的辦法搬到微分幾何就ＯＫ。
怎麼把求導搬到微分流形上？數學上形式化的「搬」，就是定義乙個概念，賦予運算法則。方向導數在微積分中的定義：
根據方向導數定義，很容易驗證：
1. 線性性：
2. 萊布尼茲律：
按著借用這個運算規則把方向導數搬到微分幾何中去就好了，但是不能直接按照微積分中的方式定義，因為流形上還沒有"向量"這個東西，所以形式化定義微分幾何中的方向導數，給個名字叫切向量（它確實是向量，滿足線性運算規則，而且「切空間」名字直接來自微積分），順便把切空間一起給定義了：
滿足條件：
這樣就把方向導數整個端到了微分幾何上，順手還定義了切空間。
歐幾里得幾何中的向量沒有要求滿足萊布尼茲律，所以微分幾何的切向量，不是歐幾里得幾何中的向量，而是微積分中的方向導數。儘管他們都是向量。
7樓：
題主應該知道，我們可以對任意(光滑) 計算其在 處的沿著某個方向 的方向導數，
一般來說，方向不同得到的結果就不同。
於是，我們在方向導數和 之間建立了一一對應關係。這個對應關係是個等價關係，因此，在等價的意義上講，沒有哪個定義是特殊的，我們可以根據不同的目的採用不同的定義。
我們既可以把向量想象成「具有大小和方向的某個東西」，
也可以把 這個對映本身叫做向量，
當然，為了合理起見，這個對映要滿足一定的性質：線性性和萊布尼茲律。
另外，題主疑惑為什麼向量不是某個 的「東西」，說明題主對內蘊性認識不足。
要明確哪些是本質上就具有的性質，哪些是為了方便計算而引入的東西。
比如說，某個向量絕不是某個 的「東西」，因為我們完全可以換個座標系，在新的座標系下，這個 的東西和原來的 的東西不同，但是卻是同乙個向量！
所以我們要反過來說，某個 的「東西」反映了背後的某個向量。這個咬文嚼字非常重要，它反映了乙個觀念上的昇華：座標系是額外引入的，它不是向量本身。
8樓：月在東南
點P處的切空間就是曲面上一點處所有的切向量構成的線性空間，因此我們可以考慮這個線性空間的維數與基，基變換，座標變換等。
推廣到高維，流形上一點處也有乙個切空間。
再放開思路，兩個曲面上都有切空間，那麼切空間之間是不是可以建立對映，這個對映的性質又有哪些？
推廣到流形上切空間之間的對映，亦如此。
9樓：
這是方向導數的推廣
在歐幾里得空間中，可以證明每乙個"類似於"方向導數的微分運算元唯一對應乙個向量，每個非0向量唯一確定乙個微分運算元，但是在流形上沒有線性結構，不存在向量一說，就用微分運算元來替代向量
如何理解切空間裡的向量可以看成微分運算元？
維度之上 通常我們把向量理解為乙個有向線段，但實際上這種理解並不好，它只適用於歐氏空間。大小 和方向才是向量的核心要素。理解了這一點，推廣到微分流形中也就是很自然的事情了。當然，這裡說的大小和方向並不準確，湊合著看吧。 yuyu wiki上Tangent space的頁面上說得比較清楚，切空間有兩種...
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