1樓：善道
我講一下我的簡單理解哈。
一開始要引入這個對合的概念是為了保證乙個微分方程存在解。而最開始的時候是為了讓系統變成Byrnes-Isidori輸入標準型(eingangsnormalisierte Byrnes-Isidori-Normalform)，這樣就能保證系統可以不借助零輸入，直接看出零動態(Nulldynamik)。
乙個SISO的非線性系統 ，
(1)經過座標變換 ，於是我們有相對微分度 ，得到 個可以解耦的精確線性化的狀態變數 以及剩下的 個內動態狀態變數 。
系統的內動態為
(2)我們的目標是使這 個微分方程組 ，那麼輸入就不會影響系統內動態了。
換句話說，我們需要找到乙個 ，它對 的梯度下恰有 的秩，，使得它就是滿足上面這個微分方程的解。
那麼首先我們要保證向量場張開的分布 的維度是恆定的，即是非奇異的， 為該分布的乙個可以作為基底的向量。
(3)非奇異的分布意味著所有該分布的向量空間裡的任意向量 都可以用這 個向量線性表示，
(4)其中 為在向量上的分量。保證分布的非奇異性後，即保證隨 位置變動而變化的向量依然能張開恆定的分布維度，並不會在一些奇異點維度蜷縮而減少。
那麼乙個維度為 的非奇異分布上對應的微分方程組
(5)其中 ，而 ，如果存在解 滿足這個微分方程組，那麼必須使得它的梯度矩陣滿秩，即
(6)只有這種情況下，分布 才有解，且完全可積。所以我們才引入Frobenius定理。
定理1 Frobenius定理
乙個非奇異的分布 描述的一階偏微分方程，在鄰域 內恰好完全可積，當且僅當它是對合的。
分布的對合性(Involutivitt)在這個向量場的語境下，指的是原分布中任意取出的向量，在經過李括號運算後產生的新向量仍然在原來的分布裡，即
(7)也就是說通過李括號運算出來的新向量仍然是和原來分布上的基向量線性相關的，判斷條件即
(8)李括號的運算來自李群，表示一種非交換性的運算。在 正交群裡實際上就是李代數，一種最直觀常見的李代數運算就是叉乘，即向量積。所以進行李括號運算以後，實際上就是用原來分布上的所有線性無關的向量求叉乘，叉乘的結果就是乙個與原來運算用到的兩個向量分別垂直的新向量，如果這個新的向量其實還在原來的向量空間內，並沒有額外產生新的維度，那麼就可認為這個分布是對合的。
也就是說，分布本身維度是完全約束的，其表示的一階偏微分方程，是滿秩可解的。這樣Frobenius定理就能用在最初的微分方程上。原來的系統有微分度 ，其Byrnes-Isidori標準型下的前面 個輸入變數 前的李導數都為0
(9)第 個解耦的精確線性化的狀態方程是
(10)
其中(11)
剩餘的系統內動態為其分布 維度僅為一，必然對合，所以必然可積。這樣如果後面內動態的所有 列的座標變換 存在解，則共計 個與分布 垂直的向量。即
(12)
就可以保證微分方程組的解都存在。
2樓：鄧強龍
對合（英語：involution）或對合函式，是逆函式等於自身的函式，就是說f (f (x )) =x 。如圖示：
平面幾何中對合的簡單例子是：一束光線在某個平面上的反射，該光線在平面上做正反兩次反射就相當於回到了起點。
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