1樓：吃月亮的人
我來挖墳
根子空間的次數是任意取的，只要是正整數都行，那1自然也可以，因此某個特徵值的特徵子空間也是這個特徵值的乙個根子空間
進一步我們考慮，如果乙個向量是特徵向量，那麼這個向量屬於次數為1的根子空間，不難發現它也屬於其他的所有的根子空間，因此特徵子空間包含於任意乙個根子空間
那根子空間的維數自然就大於等於特徵子空間的維數了，特徵子空間的維數也就是這個特徵值的幾何重數，而如果這個線性變換可對角化，那麼幾何重數又會等於代數重數（若不能對角化，則幾何重數可能小於代數重數）
再考慮代數重數和根子空間的次數，只考慮準素分解中的根子空間，次數是極小多項式中這個特徵值的重數，而極小多項式整除特徵多項式（當特徵值各不相同時取等，必要條件我不是很清楚），因此代數重數大於等於準素分解中根子空間的次數
再考慮準素分解中根子空間的維數，線性變換在某個根子空間中的變換的極小多項式的次數，顯然小於等於其特徵多項式次數，等於這個根子空間的維數，也就是根子空間次數小於等於根子空間維數
至於準素分解中根子空間維數和代數重數有什麼關係，水平有限難以解出
另外根子空間中的向量貌似叫廣義特徵向量來著，既然廣義了那肯定包括特徵向量，這樣叫法比較能幫助記憶
更新：今天學完了若爾當，得知根子空間維數等於代數重數，是個很有趣的結論
2樓：一夢如是
問題一：Jordan標準型的出現解決了某些矩陣不可對角化的問題。對於不可對角化的矩陣我們想把它對角化但又不能對角化，這時退而求其次，看看能否將它分解成分塊對角矩陣！
問題二：特徵值的代數重數大於或等於它的幾何重數。如果二者相等，那麼該線性變換一定可對角化；如果不等，則不可對角化。
（當然，也不一定能夠分解成Jordan標準型，原因在於：特徵多項式是否有解）
問題三：參見上面兩條。或者可以首先從三階矩陣理解開始理解，然後再推廣到n階！
問題四：在我學的高代裡面沒有聽過第一分解定理，不知道指的是哪個
如何理解高維度空間？
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