1樓：一面千人
原題已經有很多人回答過了, 回答得很好. 我在此補充一下那道類似的題目的證明.
問題: n維空間裡最多存在幾個向量，使兩兩夾角大於90°證明: 先構造n+1個向量, 兩兩夾角大於90°. 取單形重心連向它的n+1個頂點形成的n+1個向量即可
再證明n+2個向量中必定有兩個向量內積非負否則, 設這n+2個向量為 , 有
n維空間中 線性相關, 所以存在不全為0的實數 , 使得 , 左右同乘 , 因為內積均為負數, 所以 中既存在負數又存在正數, 不妨設 為正數, 為負數.
設 其中每個向量前的係數均為正數.
展開後因為任意兩個不同的向量相乘都是負數, 矛盾.
綜上, 這樣的向量最多有n+1個
2樓：靈劍
求最小夾角可以改成求單位向量內積的最大值，也就是
大膽放縮一下
等號成立條件是任意都相等，且，也就是所有向量夾角兩兩相等，且和為0，下面我們構造乙個讓等號成立的向量組，可以將條件改寫成矩陣：
右邊這個矩陣的n-1重特徵值是，剩下乙個特徵值是0，0對應的特徵向量是，剩下n-1個特徵向量比較簡單的一種構造方法是：
括號內由k個1，1個-k，剩下為0的向量組成。很容易驗證它們是相互正交的。令則
直接簡單讓
則這是乙個簡單的行操作，將Q的前n-1行乘以，最後乙個座標置0，注意到Q的每一行就是我們前面求出的，所以結果就是
也可以求出具體的表示式，留作課後習題（？），不過這裡還有乙個更簡單的方法：
我們改讓
這樣是個對稱陣，而且特徵向量也是。由於對應的特徵值為0，也就是說有：
我們還可以注意到，是冪等的，這說明它是個投影矩陣。又由於它的秩是n-1，又剛好滿足，所以它就是往的正交子空間上投影的矩陣。
這可就有意思了，那我們還需要用Q來計算X嗎？直接通過投影的內積關係，就可以寫出：
驗證一下內積：
不考慮歸一化的話，最簡單的向量表示式就是：
n個座標中，有個-1，最後乙個為。
比如4維的情況下，就是(3,-1,-1,-1), (-1,3,-1,-1), (-1,-1,3,-1), (-1,-1,-1,3)
夾角為不難發現這個X和我們最開始得到的內積結果的矩陣只差乙個係數，這也是跟投影導致的冪等性相關聯的。
從幾何意義上來解釋最終這個結論：
我們在n維空間中任取n個兩兩垂直的單位向量（一般也可以叫做單位正交基），求出它們的和的向量，作與這個向量垂直的超平面，然後將所有的單位向量投影到這個超平面上，得到的就是n維空間中n個向量兩兩成的角最大的情況。比如說，將乙個直角投影到y = -x上，就得到了平面上成的角最大的情況；將乙個立方體某個角上的三條邊，沿立方體對角線投影到垂直的平面上，就得到了乙個互成120°角的三維空間中成角最大的情況。
3樓：王贇 Maigo
靈魂畫手又來了！貢獻乙個高中生都能看懂的方法。
首先用直覺想一下，n 維空間中的 n 個向量，至少可以做到兩兩成直角。
所以，本題的答案至少是直角，很有可能是鈍角。
那麼，如果 n 個向量兩兩成鈍角，它們在空間中大約應該排成什麼樣子呢？
大約應該排成下圖中各個粗箭頭的樣子。
不妨設各個向量都是單位向量，黃色箭頭的座標為，即僅有最後一維座標為 -1，其它維座標均為 0。不妨稱最後一維為 z 座標。既然各個向量都成鈍角，那麼除黃色箭頭外，各向量的 z 座標均為正。
黃色箭頭外的各個向量應當互相排斥，使得兩兩之間的夾角盡可能大。
直覺告訴我們，這些向量的末端應該位於同一高度（即 z 座標相等）。如果有乙個向量的 z 座標比別的高（如橙色細線），那麼把它「掰」到其它向量中最低的高度（橙色粗線），只有好處沒有壞處。
是這樣嗎？我們來證明一下。設朝上的各個向量中最「低」的向量與 z 軸夾角為，這也是橙色向量要掰到的目標位置；而橙色向量本來與 z 軸的夾角為，。
把橙色向量掰下來，不會影響各個向量與黃色向量夾角的最小值。
而橙色向量與朝上的向量之間的夾角會變大，所以夾角最小值一定不會變小。理由如下：
把橙色向量與 z 軸垂直的分量方向稱作 y 軸。
由於其它朝上的向量都與橙色向量成鈍角，它們的 y 座標必須均為負。
把橙色向量一掰，其它各向量與它的 y 座標乘積和 z 座標乘積都會變小，所以內積變小，夾角變大。
於是我們就證明了，各個朝上的向量的 z 座標都相等，等於。
於是可以寫出一些向量的座標（最後兩維為 y 和 z）：
黃色向量座標為：
橙色向量（粗線）座標為：
其它任一向量的座標為：
注意，對於其它任一向量，除 y, z 外的座標我們不關心，而 y 座標是常數，因為它們與橙色向量的夾角都相等。
由《黃,橙》夾角和《橙,其它》夾角相等可得：(1)。
設 n 維空間中，n 個向量間最小夾角的最大值的余弦為，於是(2)。
然後把各個朝上的向量投影到與 z 軸垂直的 n-1 維子空間中去。
橙色向量變成，其它任一向量變成。
注意這兩個向量的長度都變成了。它們的夾角余弦為(3)。
把 (1,2,3) 三式聯立，消去和，可以得到。
把它看作關於的一元二次方程，可解得（捨去）或。
變形得，故成公差為 1 的等差數列。
顯然，於是有。
故 n 維空間中 n 個向量間最小夾角的最大值為。
4樓：MaNiC
不會這個問題，但是有一段回憶
高三那年參加南大數學基地班的面試，面試官問了我乙個問題（原話不是這樣，但和此問題類似），2維空間裡最多存在幾個向量，使兩兩夾角大於90°，然後又問了3維的情況。這個問題一直在我腦海裡。後來聽數學專業同學說，對於n維的情況，答案是n+1。
沒能進南大，高考去了乙個辣雞211大學學了工科。
在n維空間中有s條直線，那麼它們之間最小的夾角最大可以達到多少？
wangxy N維歐式空間中 曲線 超曲面 的擬合怎麼來做，用什麼理論知識？做出的結果從統計角度如何評價？有什麼具體的描述方法？ 這個不是Sphere Packing嗎？ 劉璐 alue 每條直線可以用乙個n維單位向量表示 假定其過原點，因為平移不改變夾角 則s條直線組成乙個n x s的矩陣。矩陣A...
線性代數 請問n維向量空間和向量空間的概念有區別嗎？
向量空間如果n個向量能組成一組基，那麼就是n維的。如果不存在有限個向量組成的基，就是無限維的。如果刻意說n維向量空間，就是強調它是有限維的，有一組由有限個向量組成的基。以及不要認為n維向量空間裡的元素都是那種有n個分量的一長條東西，向量沒有固定的形式，一團不管什麼東西，只要它們滿足那些條件就是向量空...
n維空間將有多少個正超體？
五維或以上都只有三種，n 單純形，n 超方形和n 正軸體。因為題主問推導過程，簡單解釋一下。尤拉數推廣到高維下不太適用，這裡用一種我覺得最簡潔的辦法來證明，即用二面角填充空間。三維 三維正多面體由兩個引數決定，每個面都是正 邊形，每個頂點都被 個面 或 條邊 包圍。首先可以看出 即每個頂點都有至少3...