1樓：樸正歡
這個問題並不簡單吧，
首先，「可能性」你打算如何量化地衡量啊？ 粗略地講，r越大，則U的選擇越多，這個直覺應該是正確，因為顯然r=n時，取A為DFT矩陣，U可以是任意矩陣；r=1時，則U本身必須具有unimodular entry。然而如何量化這一直感？
其此，我認為假設較弱而追求的結論比較強。U=AS^, 顯然我們需要研究A的性質，然而具有unimodular entry的滿秩矩陣長什麼樣，應該具有哪些性質，目前所知並不多。即使加強一些條件，要求A正交 （這樣的A叫做complex hadamard matrix），此時問題大大簡化，因為只需要S也正交，就可找到所有的U。
儘管如此，難度也沒有減少太多，原因是目前對complex hadamard matrix的研究也很有限，除了DFT矩陣，我們並不知道對任意給定的n，還有哪些矩陣屬於此類，也沒有系統地生成此類矩陣的演算法
2樓：又紅又正
更新一下，證明是否存在這樣的A是NP-Complete的。
說一下這個問題可能的一些思路，或許對解決問題有點幫助。
令,其中代表的第行，是共軛轉置算符。再令,其中表示的第列，則問題可以轉化成
對於所有(i,j)成立。
注意到表示乙個維空間上退化的橢圓，所以幾何上說，原問題等價於證明以下幾何問題的存在性：
P2:個維空間上的橢圓存在個交點，且這些交點線性無關。
P2這個問題因為是quadratic的，所以還是不好處理，乙個思路是進一步轉化為乙個linear的問題。令,, 則等價於. 用一下vectorization的等式可以得到
其中表示把矩陣按列排成乙個列向量。令,(是kronecker product，是共軛)，則P2等價於以下線性方程組問題的存在性：
P3: 有r個線性無關的解,且這些解具有特殊的結構，必須滿足.
其中表示全1向量。是乙個的矩陣，我感覺,所以的nullspace的維度是。因此我們可以得到乙個沒什麼用的結果:
3樓：BT之王
大一新生表示不是很明白提幹的意思。但是我覺得應該是這個題目，現在只是想到了解法的乙個等價形式（也沒寫明白╮(╯▽╰)╭）。存在（n-r）組不同的a1a2……ar滿足a1ω1+a2ω2+……+arωr的膜為一。
但又有如果ar絕對值特別大，那麼就不能滿足條件。因而只有可逆陣滿足條件而秩為n-1都不行。
不知道對不對
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