1樓：楊樹森
非常高興地看到你不滿足於關注有限維空間上的結論。在通常的線性代數教材上，重點研究的是有限維空間。很多結論在有限維空間上成立，到了無限維空間就不成立了。
不過，凡是那些可以不依賴基證明的結論，肯定可以在無限維空間上成立。
設 是線性空間 的子空間，我們證明以下命題等價，且不依賴於 是否為有限維：
是直和；
中的零向量的表示法唯一；
所謂 是直和，就是對於任意 存在唯一的 和 使得 所以若 是直和，則 中的零向量的表示法唯一。
既然 中的零向量的表示法唯一，那麼零向量的唯一的表示法就是 假設存在 且 那麼零向量存在兩種不同的表示法
矛盾。所以
任取 和 的兩種表示法 注意到
所以 若 則 說明 的表示法唯一，也就是 是直和。
後兩個命題在無限維空間上沒有一般性的意義，所以不能談它們與前三個命題是否等價。
作為補充，為了直觀地理解無限維空間上的直和，可以考慮如下的例子。
記 上的全體函式構成的線性空間為 全體奇函式構成的子空間為 全體偶函式構成的子空間為 對於任意 我們證明 的表示法是存在唯一的。
任取 若 則
由此可以唯一地確定
於是 這個結論意味著任何乙個函式都可以唯一地表示成乙個奇函式與乙個偶函式的和。
最後，若 則
於是 即 也就是
這個結論意味著唯有 既是奇函式又是偶函式。
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