1樓：
五維或以上都只有三種，n-單純形，n-超方形和n-正軸體。
因為題主問推導過程，簡單解釋一下。
尤拉數推廣到高維下不太適用，這裡用一種我覺得最簡潔的辦法來證明，即用二面角填充空間。
三維：
三維正多面體由兩個引數決定，每個面都是正 邊形，每個頂點都被 個面（或 條邊）包圍。首先可以看出 ，即每個頂點都有至少3個面相接。很明顯這幾個面的內角之和必須小於360度，不然多面體的頂點就變成「平」的了。
因此如果 ，那麼正三角形內角為60度，每個頂點可以裝下3、4、5個，對應的正多面體即正四面體（三維下的單純形）、正八面體（三維下的正軸形）和正二十面體。
如果 ，那麼正方形內角90度，每個頂點只能裝下3個，對應正多面體即正六面體（三維下的超方形）
如果，那麼正五邊形內角108度，每個頂點只能裝下3個，對應正多面體即正十二面體
如果 ，那麼正 變形內角至少120度，每個頂點連3個也裝不下，因此正多面體的面不可能有6條或以上的邊，換句話說，三維正多面體只有以上5種。
四維：
四維正多胞體我們照樣畫葫蘆，看每條邊周圍有幾個二面角（三維多面體兩個相鄰面之間的夾角）。圍繞每條邊這樣的二面角總數不能少於3個，而且總和必須小於360度。因為四維正多胞體的每個面都是乙個三維正多面體，因此可以從以上計算。
正四面體內的二面角為70.5度，因此每條邊周圍能裝下3、4或5個正四面體，對應的多胞體為正5胞體（四維下的單純形）、正16胞體（四維下的正軸形）和正600胞體。
正六面體的二面角為90度，每條邊周圍能裝下3個，對應的多胞體為正8胞體（四維下的超方形）。
正八面體的二面角為109.5度，每條邊周圍能裝下3個，對應的多胞體為正24胞體
正十二面體的二面角為116.6度，每條邊周圍能裝下3個，對應的多胞體為正120胞體
正二十面體的二面角為138.2度，每條邊周圍連3個都裝不下，因此沒有以其為面的多胞體。
四維正多胞體因此共有6種，它們在三維空間裡的投影如下圖所示。
五維及以上：
在維多胞體裡， 個 維正多胞體的「面」會包圍在乙個 維正多胞體的「邊」周圍形成 個「二面角」。 至少為3，而且這 個二面角總和小於360度。
下面我們來看由 維單純形、超方形和正軸形為面組成的 維正多胞體。首先我們得想辦法求出維單純形、超方形和正軸形的二面角。
1 - 單純形，把乙個單純形立在其中一面上，想象從「上方」往下看。在三維裡從正四面體上方往下看會看到底面正三角形，其它3個面投影到底面上將其分割為3個小三角形。在四維裡看上圖最左邊正5胞體在三維空間裡的投影，可以看到乙個底「面」正四面體，其它4個「面」投影到底「面」裡將正四面體分割為4個小四面體。
依次類推，維單純形可以投影在乙個「體積」為 的 維多胞體內，除了底面以外其它個面的投影將這個維多胞體分割成 份。因為每個面都和底面成二面角，因此每個投影分割的小部分體積為 ，全部加起來可得 ，即 是維單純形的二面角。
2 - 超方形，很簡單，不管維度二面角永遠為90度。
3 - 正軸形，考慮 空間裡座標全部為 的點，這 個點正好是 維正軸體 個面的中心（同樣，想象正八面體的情況）。在這之中取兩個點，且兩個點只有乙個座標異號，這表示以這兩個點為中心的兩個面互相相鄰。現在我們求這兩個點向量的點積為 ，這兩個向量長均為 ，因此根據點積定義兩個向量夾角為 ，這就是兩個相鄰面對應的的中心角，二面角即這個角的補角。
如果 維正多胞體的面由維超方形組成，二面角為90度，所以每條邊周圍只能裝下3個，這就是維超方形。
如果 維正多胞體的面由維正軸形組成，二面角為 ，代入 ，則該角度至少為120度，因此每條邊周圍連3個也裝不下，所以不存在由 維正軸形為面組成的維正多胞體。
因此，以維單純形、超方形和正軸形為面只能組成三種 維正多胞體，分別是維的單純形、超方形和正軸形。
現在只需要證明6種4維正多胞體中除去單純形、超方形和正軸形那剩下3種不可能作為面組成5維正多胞體就證明完畢了。而這很容易驗證，除去正5/8/16胞體，剩下的正24/120/600胞體中二面角最小的是正24胞體，二面角為120度，無法在邊周圍裝下3個。因此5維或以上只有3種正多胞體。
從這個證明可以看出，當維度上公升時，多胞體的二面角逐漸變大，使得疊加形成的胞體無法保持在凸形狀。這也是4維的幾何及拓撲在某些情況下比高維更複雜的乙個例子。
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