怎樣從不同角度理解卷積,特別是幾何直觀的角度和它在不同學科中的應用?

時間 2021-06-02 13:50:33

1樓:Yuhang Liu

拋磚引玉一下。

微積分中的卷積:

組合或者解析數論中的卷積:

非交換調和分析中的卷積: ,其中G是乙個區域性緊拓撲群,x,y都是G中的元素, 是G上的乙個Haar measure。

形式上都是類似的,後面兩個分別是離散情形和非交換情形的推廣。然後重要的性質——Fourier變換下卷積變乘積、乘積變卷積這一點還是保持的;這裡順便提一下非交換調和分析中Fourier變換的定義:

如果f是G上的函式,那麼其傅利葉變換定義如下

其中 是G的對偶,也就是所有unitary irreducible representation組成的空間(上面帶個Plancherel measure, 所以可以定義積分); 是unitary irreducible representation of G; 是 作用的線性空間。

我之所以知道一點點非交換傅利葉變換的東西,主要是以前上過Kirillov的課;這一塊主要還是表示論的研究範圍,Kirillov應該也比較熟悉,但是他說這個領域也很困難。

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