1樓：Pablo Deogracias
@Comzyh 提供了乙個有趣但是錯誤的反例。雖然這個反例不成立，但它揭示了更為深刻的東西。
考慮原答案中的「二維陣列」，n \end" eeimg="1"/>，設，我們有：
1. 2.
證明：1. ，原因在於，當m" eeimg="1"/>時，，對任意固定的，有關的項便成為乙個確定的數字，而。據此有。
2. ，原因在於，當時，，故有
式1.符合直觀：無窮多個無窮小的乘積應該為無窮小（，所以確實是當的無窮小）。
但是式2.就很奇怪了。看起來只是交換了乘積取極限的順序，卻得到了不為0的極限值，這是為什麼呢？
如果我們把看作乙個級數（取對數，把乘積問題變成求和問題），這意味著在二維的自然數點陣上的一維遍歷，那麼事情就可以轉換成級數的收斂問題。
考慮黎曼重排定理：
對於條件收斂的級數，任取，可以是有限數、、，一定存在乙個排列，使得。
證明見Riemann series theorem。
什麼意思呢？乙個條件收斂（而不是絕對收斂）的級數，不同的求和順序會得到不同的結果，更吊詭的事情是，你甚至可以得到任何你想要的結果（！）。
回到@Comzyh的反例，如果我們把取對數，我們會發現有正有負，而且不收斂（和求和順序無關），這說明確是條件收斂的。那麼依照黎曼重排定理，我們可以通過改變求和順序，得到任何乙個值。先取再取，我們得到（對應著乘積為0），先取再取，我們便得到0（對應著乘積為1）。
事實上，對於任何乙個正數（或無窮大），我們總能找到的乙個排列（二元排列），使得收斂到這個數（具體構造方法參見黎曼重排定理的構造性證明）。
事實上，如果想保證1.和2.有相同的結果，我們需保證是絕對收斂的。
還有一種方法就是讓兩個角標的極限一致收斂。由2.得到奇怪結論的原因是：
「無窮小」被構造為乙個條件收斂的級數，在對這些「無窮小」做乘積的時候，錯誤地交換了級數求和的順序。
拓展閱讀：根據黎曼重排定理，任何條件收斂的函式其收斂值為任意數，是不是說明條件收斂的和是不能使用的？ - 數學 - 知乎
2樓：聽海之潮
當然不是零。如果寫出乙個再用另外乙個無窮小的無窮大次方做分母的極限式，比值極限完全是可以是任何數。即反證分子不是零。你說的那個答案出錯了吧。
求極限時應怎樣理解無窮大和無窮小？
氯乙烯 夏天的風 xiexieyaoqing 1.我其實沒見過這樣寫的，數列極限考慮的難道不是n趨於無窮大時嗎？或者題主這裡寫的n不是正整數，而是實數，考慮的是函式極限問題？不過函式極限一般考慮的是定義在某點的空心鄰域上，然後考慮自變數趨於該點時的極限，換句話說一般考慮奇點處的極限。而這個問題n 3...
無窮大是常數嗎？無窮小是常數嗎？
凡塵 常數是指固定不變的值 概念 無窮大乘以非零常數還是無窮大，無窮小乘以非零常數還是無窮小，所以，無窮大和無窮小都不是常數。 Reputation丶L 你好。準確的說，無窮大和無窮小是數學中的變數，所謂變數，就是沒有固定的值，可以改變。就好比你舉出乙個數字100000000，看似很大，但我可以找到...
救救孩子吧！無窮大和無窮小的概念理解的很模糊，圖畫的很抽象不要介意，但具體是下面哪乙個選項？同學們！？
慕課考研 直接告訴你答案，下回你還是不會，最好先理解一下無窮大和無窮小的定義和經典解題方法，這裡推薦你西安交通大學前數學專業教授武忠祥的講解，網上基礎高數講解口碑很好，看完啥題都會了 15分鐘學會 無窮小與無窮大 普及epsilon delta語言的重要性 無窮大 無窮小本來就不是乙個實數 所以你根...