1樓：
這裡面其實是用到了「自然數集在通常序下是良序集」這樣的乙個性質，然後從此處開始去證明，在構造出乙個整數 之後，會發現矛盾，從而否定一開始認為的分解不唯一的假設。
現在，先把所有 都分解一下，假設我們發現 裡面有一些數是分解不唯一的，那麼我們把它們全部 起來，形成集合 ，那麼自然是 。
這裡的 比較重要，這代表了在集合 中可以找到乙個最小的元素，設為 。既然說 的分解不唯一，那麼自然有 【記為 】，這些 ， 全是素數。
然後可以重寫一次 ， ，讓它們呈現： 和 。如果 的話，是會矛盾的，因為這樣會弄出乙個更小的數，它分解也是不唯一的，這與 已是最小矛盾。
因此要麼 ，要麼 ，不妨設 。
這個時候，就開始構造乙個整數，即 .
根據【 式】，有 【記為 式】，
也有 【記為 式】.
由於 ，這導致 為正而且 比 更小，因此 的素數分解一定是唯一的（這是因為 已經是素數分解不唯一的最小的數了，因此比 更小的數只能分解唯一）。而依【 式】則知， ，那麼再依【 式】則知， 或 ，但是結合 和 則知， 比這裡的任何乙個 都小，而 又都是素數，因此 不可能整除任何乙個 ，從而也就不可能整除 ，因此，只可能是 。
而 s.t. ，也即有 ，從而說明 ，但這兩個都是素數，所以是不可能的。因此矛盾。
因此也就證出了素數分解必然是唯一的。
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