1樓：ZCC
用類似證明高斯整數環是Euclid環的手法, 我們證明 是乙個Euclid環, 從而是乙個唯一分解整環.
顯然 是虛二次域 的子環.
任取 , 這裡 , 定義函式
為 , 我們證明這(限制到 上時)是乙個符合要求的Euclid函式.
容易驗證 滿足某種"積性", 即
利用這一點, 任取 , 其中 (這意味著 ), 於是存在 使得
這裡 ; 顯然存在 使得
這樣令顯然 , 並且
同時這樣就證明了 確實是乙個滿足要求的Euclid函式, 是乙個Euclid環從而唯一分解整環.
幾點說明:
(如果提前見過證明高斯整數環是Euclid環)證明 是Euclid環遠比直接證明它是唯一分解整環簡單得多.
Euclid環是主理想整環, 主理想整環是唯一分解整環.
直接證明它是唯一分解整環可以考慮證明因子鏈條件和素條件, 即直接考慮求出其中所有的素元素和不可約元素(估計這個問題是一道課後習題...)
這裡的 函式實際上可以看作是範數. 一般地, 就定義為 ; 就定義為
怎樣理解唯一分解定理，如何證明，這個定理有什麼用？
這裡面其實是用到了 自然數集在通常序下是良序集 這樣的乙個性質，然後從此處開始去證明，在構造出乙個整數 之後，會發現矛盾，從而否定一開始認為的分解不唯一的假設。現在，先把所有 都分解一下，假設我們發現 裡面有一些數是分解不唯一的，那麼我們把它們全部 起來，形成集合 那麼自然是 這裡的 比較重要，這代...
如何評價亞馬遜 HQ2 第二總部，一分為二設在維吉尼亞水晶城和紐約長島城？
PacificSurfliner 參見我在另乙個問題的答案 https www.zhihu.com question 302370601 answer 531342341本人就在 Long Island City 住 暑假才搬來紐約工作 上個月去華盛頓玩的時候恰好在 Crystal City 路過吃...
如何證明實踐是檢驗認識真理性的唯一標準是對的？
不周山 這句話求的是果，因此這句話是真理，就像有一天一加一等於三了，一加一等於二就會退下神壇，沒人在乎一加一的過程，只在乎通過一加一能不能得到三，你看現在的半斤等於八兩嗎？吃透小學語文，會比大部分網民都聰明。 天10 這個應該算是公理。類似1 1 2，光速在各個方向上速度相同等等，都屬於人為規定的，...