1樓：予一人
首先，回顧乙個簡單結論：
若 是無理數，則任意的 都是序列 的聚點[1]，其中 表示取整函式。
現在開始轉入當前問題的證明。
考慮利用反證法，反設 因為 是無理數，依前引結論，存在趨於正無窮的正整數序列 滿足[2]又依函式週期性，將有
考慮對此式取 的極限。對於左端，注意到此時 則其作為的乙個子列，依開頭的反設，將有 至於右端，因 依函式連續性將有 這就是說
現在，取任意的實數 同樣依前引結論，存在趨於正無窮的正整數序列 滿足於是完全類似地，可以得到
綜合 可以推知 但是定義在實軸上的連續恒等函式並無最小正週期，於是推翻反設，命題得證。
2樓：
設T是 的週期， ，
變換一下，令 ,
則有：g(t+n)=g(t)，得到乙個週期為1 的連續函式，令 ,
問題轉化為： 週期唯1的的數列，對於無理數 ，數列，是不是收斂？
不加證明的指出乙個引理：
*引理：給定任意的無理數 , 0,\exists m \in N^+,\\lt\epsilon" eeimg="1"/>。 表示取小數部分。
根據引理，可以對任意 0" eeimg="1"/>,取滿足 的乙個整數 ，記為 .
設 收斂,則子列 也收斂；
記 因此有： ;
集合可以取遍 的所有有理數，在整個週期內稠密；又因為 連續,必有 , ,是常數。
回到原問題，週期為無理數的數列f(n),如果收斂，則必有 ,可以取任意週期；如果不是常數，那麼f(n)就不會收斂。
3樓：只微寒
講故事的話，大概像下面這樣
給周長為μ的圓，乙個機械人以1為步長在圓周上走，任意x＞0，分圓周為1/x取上整份，由抽屜原理即知總會有兩步間距離＜x。將這兩步之間的所有步並成一大步，容易知道知對乙個很小的坑，機械人不可能一直困在裡邊。
翻譯成嚴格的數學語言，就證完了...
4樓：
我給你說乙個思路吧，沒仔細想，不知道對不對。
假設有極限，極限是L。則對於任意的正實數ε，當n充分大時，f(n)在區間(L-ε，L+ε)中。
然後是問題的核心，證明n+kμ(n充分大，k為整數)在實數集中稠密。(即對於乙個任意小的區間都有n，k使得上面的數在區間裡)
藉此可以證明(借助連續性)所有的函式值都與L充分接近。由此可得f為恒等函式。
然而，恒等函式沒有最小正週期。矛盾。
如何證明e為無理數
Honest168 分享乙個我新學到的證法，雖然同樣是利用反證法，但和最高贊的方法有些許差別。利用反證法。若 為有理數，則可設 對於 有 設 為 的整數部分，則有 若 則 但 和 相衝突，故 為無理數，證畢。創造這個證明法的是讓 巴普蒂斯 約瑟夫 傅利葉，題主感興趣的話可以去查一下這個人的生平和該證...
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格羅卜學數學 先來說說有理數的稠密性吧.有理數的稠密性 並且 那麼存在 使得 證明 再來說說無理數的稠密性.無理數的稠密性 並且 那麼存在 使得 江東四傑 人話版 已知Q是稠密的，故只需證明 對任意正有理數q,0,q 之間存在一無理數。顯然，因為 2 n 0。裝逼版 根據貝爾綱定理 的推論 完備度量...
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