1樓：量子永生
完整的證明樓上寫了，如果是證明迴圈小數一定是有理數。用小學知識的能解釋了。
如果某個小數某一段迴圈了，其中非迴圈節長為A，迴圈節長為B
那麼這個小數可以表示成 0.(非迴圈節)(迴圈節)
0.888 4321 4321 ...
0.(非迴圈節)(迴圈節) 能表示為 0.(非迴圈節) + 0.(迴圈節) x 10^A
0.888 4321 4321 ... = 0.888 + 0.4321 4321 ... * 1000
0.(迴圈節)可以表示為 (迴圈節)/(10^B-1)
0.4321 4321 ... = 4321/9999
於是這個小數就能表示為有理數的和：0.(非迴圈節) + 0.(迴圈節)/ (10^B-1) x 10^A
0.888 4321 4321 ... = 0.888 + 4321/9999 * 1000
因為兩個有理數的和一定是有理數
所以這個小數也是有理數
證畢裡面超出小學知識範圍的應該是
0.(迴圈節)可以表示為 (迴圈節)/(10^B-1)
0.4321 4321 ... = 4321/9999
比較簡單的證明是：
1/9 = 0.111111111111 ...
1/99 = 0.010101010101 ...
1/999 = 0.001001001001 ...
稍微嚴謹一點的話也能用小學數學證明：
設它迴圈節長還是B
0.(迴圈節)(迴圈節)。。。x 10^B = (迴圈節).(迴圈節)(迴圈節)。。。
0.4321 4321 ... * 10000 = 4321.4321 4321 ...
0.(迴圈節)(迴圈節)。。。x 10^B - 自己 = (迴圈節)
0.4321 4321 ... * 10000 - 0.4321 4321 = 4321.4321 4321 ... - 0.4321 4321 = 4321
0.(迴圈節)(迴圈節)。。。x (10^B - 1) = (迴圈節)
0.4321 4321 ... * 10000 - 0.4321 4321 = 0.4321 4321 ... * (10000-1) = 4321
0.(迴圈節)(迴圈節)。。。 = (迴圈節)/(10^B-1)
（乘數 = 積 / 乘數）
0.4321 4321 ... = 4321 / (10000-1)
證畢這個回答也解釋了同樣的道理：
為什麼1/49前面幾項剛好是等比數列0204081632……，這是巧合嗎 ？
2樓：朱老忠
可以用級數求和來表示的無理數，只是這個無理數的計算規律，而不是排列規律。√2難道不是「某種規律」？
當然更多的無限不迴圈小數是連這類規律也沒有的。就是數軸上0和1之間的乙個點，無論你用几等分來分割，這個點總是在兩個分割點之間，永遠不在分割點上。這就是無理數。
3樓：
怎麼都不喜歡看定義呢？
In mathematics, arational numberis any number that can be expressed as the quotient or fraction
p/q of two integers, a numerator
p and a non-zero denominator
q.有理數是指那些能夠被表示為分數p/q(p、q為整數，q不為0)的數。
A real number that is not rational is called irrational.無理數是指那些不是有理數的實數。
乙個有限小數或者無限迴圈小數總是能夠被表示成分數的。
我這裡只舉乙個例子，證明很容易按照這個思路寫出來。
將0.123123123...轉為分數表示：
x = 0.123123123...
1000x = 123.123123...
1000x = 123 + x
999x = 123
x = 123 / 999
其實這個東西在好一點數分或者高代的教材的基礎部分會有講，多看書吧。
為了解決所有疑惑，應該再證明一下所有無限不迴圈小數都不能夠被表示為分數。
我現在要出門，看看有沒有別的答主來給個證明吧。
4樓：靈劍
因為有理數都是有限小數或者無限迴圈小數
補個證明吧，超簡單的，考慮既約分數，則如果把小數點右移k位（也就是乘以），得到的數的整數部分是
那麼剩下的小數部分就是
（想不明白的再努力想一下就知道了）
而分子的取模最多只有m - 1種不同的取值，所以對於k = 0, 1, ..., m的情況來說，一定存在和，使得且
也就是說小數點右移位和位之後，剩下的小數部分是相等的，這說明一定是迴圈節長度的整數倍，而原來的小數是個迴圈小數（如果迴圈的部分是0，則是有限小數）
具體的迴圈特性其實也是可以分析的，同樣考慮既約分數，首先如果分母有2或者5的因子，通過乘以2的冪次或者5的冪次，讓2和5的因子的數量一樣多，於是將分數改寫為：
其中與10互質。比如說，對於，通過分子分母同乘以25，改寫為
由於與10互質，有
其中是尤拉函式，代表1到中與互質的數的個數。這也就意味著
所以至多從小數點後第k位開始迴圈，迴圈節長度是的某個約數，也就是最多為
比如，從小數點後第二位開始迴圈，迴圈節長度是的約數，實際上正好是6
無限不迴圈小數確實存在？
非數學專業，吃飯的時候突然想到了這個問題 我是這樣想的 如果乙個無限不迴圈小數它是無限的，那麼有沒有可能它其實實際上只是有乙個極其大的迴圈節呢？然後我想到 如果我知道它的迴圈節，應該就能用整數和整數的比把它給表示出來。那麼想象一下，乙個迴圈節為 的 也就是乙個迴圈節內事實上可以表示完0到9個數字組合...
這世界為什麼會有無限不迴圈小數？
老堪 這個涉及到我們採用什麼樣的計數系統來作為我們數學基礎的問題。不管是歷史的原因還是偶然的因素，反正目前我們的計數系統採用的是建立在自然數的基礎上發展起來的數系，按照皮亞諾公理，任何一種 串 都可以作為純屬數學的基礎，如果我們以圓的半徑為單位所構成的圓面積作為我們計數系統的基礎，那麼這個圓的面積就...
為什麼無理數是無限不迴圈的？
林揚飛 題主提出的這個問題把因果關係搞錯了。畢達哥拉斯學派曾經認為 萬物皆數 任意乙個數都可以寫成的形式 m,n為有理數 但是後來有人發現了這個無理數，是無法用 的形式來表達的，而且 還是乙個無限不迴圈的小數，沒人能說出 的準確值，因此就把這一類數稱之為無理數。再來看問題的因果關係為 先發現了無限不...