1樓：微涼晨光
worldlinec204答案是正確
他的回答的補充和證明：
（都帶有證明，看懂證明需要先掌握尤拉定理和費馬小定理和一定的同餘知識）
它翻譯成一般語言就是：
定理2:對於有理數a/b，0小於a小於b（這裡可以看作是任意有理數的小數部分，從這裡出發，可以簡單將定理推廣至任意有理數）。並且a/b已經是最簡分數，那麼它能表示成純迴圈小數的充要條件是b和10沒有除了1以外的其他公因數，即a和b互素。
定理3:對於有理數a/b，0小於a小於b，並且a/b已經是最簡分數，b有且僅有2，5和另外乙個數b1（b1可能為合數）為因數。b1和10沒有除1外的公因數，b1不為1，並且b1是b的真因數，則a/b可以表示為混迴圈小數，並且其中不迴圈的位數是完全分解後2的個數和5的個數的較大者
不知道大家是否考慮過為什麼純迴圈和混迴圈與2和5有著密切聯絡。這與10有2與5的因數有關，進一步的，與數制本身有關
2樓：
命題等價於，找到最小的形如99...990..0的數，使其為分母x的倍數。
即最小的形如 10^m*(10^n-1)的倍數。
前半部分根據分母質因數分解裡2和5的含量決定m，而且這部分對應的是迴圈節之前的部分，不影響迴圈節的長度。後半部分的n即迴圈節長度。
然後就是數論知識了：
1. 若10和x互質，則必定存在正整數n使得10^n≡1 (mod x)。設其中最小者為r，則10^n≡1 (mod x)當且僅當 n被r整除。
——直觀上來看：所有有理數都可以寫成有限小數或無限迴圈小數；最小迴圈節複製k倍依然是「迴圈節」；長度介於k-1倍和k倍之間的一節一定不是「迴圈節」。
2. 設x與10互質，並記x的尤拉數為φ(x)——即1,2,...,x-1中共有φ(x)個跟x互質——那麼總成立
10^φ(x)≡1(mod x)
證明:取mod x的乙個完系a_1,a_2,...,a_φ(x),對他們每乙個都×10，10×a_1,10×a_2,...
,10*a_φ(x)仍構成乙個完系。所以這兩組數的乘積模x同餘。
所以階一定是φ(x)的因子，然後試吧。
3樓：
這是乙個很有意思的問題。我不是數學系的學生，但是我盡量給出乙個全面的回答，簡介我的思路，方法由簡陋逐漸變得精煉。
階段1：小學奧數奧數提供簡單解法。
0.09090909......這是什麼分數？
小學奧數告訴我們這是 ，也就是 ，只要找到迴圈節，然後用99...9作為分母就能得到結果，這個方法可以用數列極限，先證明收斂然後永吉縣運算證明，已經有了相關的問題，這裡就不詳細寫了：
隨便寫出乙個無限迴圈小數，都可以化為乙個分數嗎？
那麼反過來問, 的迴圈節是多少位？
答：找乙個99...9能夠整除11，99...9的位數就是迴圈節位數。那麼容易找到99，即迴圈節2位。
同理， 找到乙個最短的99...9，找到了999999=7*142857，所以迴圈節是6位。
階段2：證明小學的結論。
第一種情況，迴圈節出現在小數點後第一位
首先，我們排除假分數，因為它的迴圈節和對應真分數一致。
我們知道，假設真分數 的迴圈節有 位，那麼 的小數部分就和原本的分數一致。所以我們有
,其中 （向下取整）
即 （1），滿足這個式子的最小的k就是迴圈節位數。
由於左邊是乙個整數，所以 必須整除
而如果 能夠整除 ，記
那麼 ,也就是說能滿足 整除 的最小k就是迴圈節。
也就是說，99...9能夠整除n的最小位數，就是迴圈節位數。
第一種情況的結論就是：
滿足 的最小
而第二種情況，就是迴圈節在小數點後幾位才開始，有人看再更
4樓：
很簡單，假設乙個真分數可以表示為m/n，m與n是互素的。 如果n的因子只含有2和5，那麼我們就可以通過在分子分母上同時乘以適合數量的2或者5，將分母表示為10的次方的形式，這就說明這個分數是有限小數。如果n中完全不含有2和5，那麼n與10互素，根據初等數論中的尤拉定理，n與10的幾次方-1同餘，所以可以通過分子分母同時乘以一些因子，將分母變成9999...
9的形式。這時9的個數就是迴圈節的位數，分子上的整數通過在前面補0，使得分子分母位數一致，此時分子就是迴圈節。另外還有一種情況，
宇宙是否是乙個無限迴圈？
護法居士 爾時尊者須菩提白佛言。世尊。無邊波羅蜜多。是般若波羅蜜多。虛空無邊故。無等等波羅蜜多。是般若波羅蜜多。一切法不可得故。離波羅蜜多。是般若波羅蜜多。畢竟空故。不可破波羅蜜多。是般若波羅蜜多。一切法性不可得故。無句波羅蜜多。是般若波羅蜜多。諸法無名無相故。無性波羅蜜多。是般若波羅蜜多。諸法無來...
怎樣快速的找到乙個男朋友
梓欣 哈哈哈，這個問題，我也想問，只是我還是想反問一句啊，你這快速找到乙個男朋友，你是只想找個男朋友而已嗎？我覺得如果是只想為了找男朋友而找的，那分分鐘找個男朋友應該也是能找到的，只是我想說，這樣好像沒什麼意義呢，沒有感情基礎，沒有相互的喜歡，真的沒有一點意思，所以啊，緣分這種東西，只能等，別急，再...
人類文明是乙個無限迴圈的過程嗎？
今天星期五 假如人類文明是乙個無限迴圈的過程，那麼在我們這乙個人類文明之前，已經有無數個人類文明，當然，我們也不知道我們是第乙個。那麼人類文明不斷進步，到最後地球毀滅，那時候的科技如果足以成功讓他們 移居 到另乙個星球生活，那麼他們是不是我們口中的 外星人 隨著時間的推移，他們不斷的進化，就進化成了...