1樓：
非數學專業，吃飯的時候突然想到了這個問題
我是這樣想的：如果乙個無限不迴圈小數它是無限的，那麼有沒有可能它其實實際上只是有乙個極其大的迴圈節呢？
然後我想到：如果我知道它的迴圈節，應該就能用整數和整數的比把它給表示出來。
那麼想象一下，乙個迴圈節為∞的（也就是乙個迴圈節內事實上可以表示完0到9個數字組合的所有情況）迴圈小數。很容易能想象到，這個迴圈節無法窮舉所有的0到9的組合，因為整數是無法窮舉的。那麼問題來了，乙個迴圈節是無限的的迴圈小數，它還是迴圈小數嗎？
怎麼用分數來表示這種數呢？
想到這我覺得這種數已經是無理數了，因為定義上有理數是可以用整數和整數的比表示的，而這種數（乙個迴圈節為∞的迴圈小數）應該是不可以的。
純自己瞎想的，不知道這樣說有沒有問題。
2樓：
首先宣告有理數的定義:對實數q，如果存在整數m，n使得q=m/n，則q為有理數。
我們立刻得到有理數的基本性質:對有理數q，存在m，n∈Z，使得(m,n)=1，且q=m/n。這裡(m,n)表示m和n的最大公約數。
事實上由有理數的定義我們可以取整數m',n'使得q=m'/n'，那麼設(m',n')=d，則由最大公約數的定義知d|m',d|n'，m'/d和n'/d為整數，並且(m'/d,n'/d)=1。這樣q=(m'/d)/(n'/d)滿足要求，取m=m'/d，n=n'/d即可。
要證明存在，我們只需要舉出乙個例子即可。
例如，√2。首先這個數是存在的。這個數的定義是，平方為2的正實數。我們只需證明，存在乙個實數x，它的平方是2。
事實上，考慮集合。先證明:等號不會成立。
如果存在x∈Q+使得x=2，那麼由有理數的定義存在m，n∈N*使得x=m/n且(m,n)=1，這裡(m,n)表示m和n的最大公約數。於是m=2n，可得m為偶數，又由於奇數的平方為奇數，故m不是奇數，所以m為偶數。於是存在正整數l使得m=2l，代入上式得2l=n，於是同理可知n也是偶數，故2|m,2|n，與m，n互素矛盾！
再證明:這個集合有上確界。所謂上確界是指，給定乙個實數集A，如果存在乙個實數x，使得對任意y∈A，y≤x，並且對任意實數r＜x，存在y∈A，使得y≥x，那麼稱集合A存在上確界，並且稱上確界為x。
記為x=supA
我們直接給出乙個定理:如果乙個實數集有上界，那麼這個實數集有上確界。這裡上界是指，對於乙個實數集A，如果存在實數x，使得對任意y∈A，y≤x。證明見鏈結
我們先證明:定義在R+上的函式f(x)=x單調遞增。所謂單調遞增是指對於乙個定義在實數集D上的函式f，如果對於D的乙個子集E，任何兩個E中的元素x1和x2，並且x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，則稱f在E上單調遞增。
事實上任取x2＞x1＞0，則x2-x1=(x2+x1)(x2-x1)＞0，故f(x2)＞f(x1)，命題成立。
於是，集合A=存在上界，取a=4，則對於任意x∈A，x≤2＜4，故由於f在R+上單調遞增，故x≤2，命題成立。因此集合A存在上確界，我們取這個上確界為m。
下面證明:m=2
事實上，如果m≠2，那麼m＜2或者m＞2。
如果m＜2，則存在實數ε＞0，使得m=2-ε。這樣取有理數q使得2-ε＜q＜2，我們證明這樣的q是存在的。
也就是要證明:對任意ε＞0，存在q∈Q，使得0＜2-q＜ε。
顯然對任意ε＞0，存在r∈Q+，使得0＜2-r＜ε。
我們只需證明:對於任意r∈Q+，存在q∈Q+，使得q＜r。
事實上由有理數的定義我們可以設r=m/n，其中m，n∈N*，(m,n)=1。顯然對於任意正整數x，存在正整數y，使得y≤x＜(y+1)，於是我們設s≤m＜(s+1)，t≤n＜(t+1)，則考慮有理數s/(t+1)，顯然它小於r。取q=s/t+1，則q=s/(t+1)＜r，證畢。
這樣為了證明對任意ε＞0，存在q∈Q，使得0＜2-q＜ε，我們先取有理數r使得0＜2-r＜ε，再取有理數q使得q＜r，則0＜2-q＜ε，命題成立。
我們回顧一下剛才的命題:集合A=，supA=m，如果m＜2，取ε=2-m，由於存在正有理數q使得0＜2-q＜ε，故q＜2，即q∈A。又由於q＞2-ε=m，由剛才證過的f(x)=x在R+上單調遞增得，q＞m，與m為A的上確界矛盾！
同理如果m＜2，我們也可以用類似的證明過程得到矛盾。
這樣m=2。我們把這個m叫做√2。
然後由一開始證的，如果m=2，那麼m不是有理數。接下來我們證明:迴圈小數都是有理數。
這樣，任何乙個迴圈小數都是有理數，但是存在乙個實數，它不是有理數，那麼它就不是迴圈小數，於是結論(無限不迴圈小數存在)成立。
我們定義迴圈小數為，存在正整數T，存在正整數N，使得對於任何正整數n≥N，它的小數點後第n位都與小數點後第(n+T)位相同。並稱T為它的乙個週期。在這種定義下有限小數也是迴圈小數。
如果q是迴圈小數，設其乙個週期為T，那麼我們有:q*10^T-q∈Z。這由十進位制小數的定義是顯然的。於是q是有理數。證畢。
被揪出錯誤了好尷尬啊...原來證錯的就留著吧，比正確的那個命題的證明要困難一點。
這個命題的逆命題也是成立的。我們證明，有理數都是迴圈小數。
故我們只需證明，對於任意有理數q，存在正整數T，使得q*10^T-q∈Z。
我們設q=m/n，且m，n∈Z，(m,n)=1。如果存在T，使得q*10^T-q∈Z，那麼(10^T-1)m/n∈Z，顯然如果存在T使得(10^T-1)/n∈Z，那麼命題顯然成立。故我們只需證明命題對1/n成立。
我們考慮以下n+1個數:
10^0-1,10^1-1,10^2-1,...,10^n-1，我們考慮它們除以n的餘數。
所謂「x除以y的餘數」，是指對於整數x和y，取乙個整數q，使得qy≤x＜(q+1)y，這樣的q一定是存在的。這樣我們稱r=x-qy為x除以y的餘數。由定義知x=qy+r，我們稱之為帶餘除法。
並且由定義我們有0≤r＜y。
設10^u-1和10^v-1除以n的餘數相同，且u≠v。不妨設u＞v，那麼(10^u-1)-(10^v-1)=10^v*(10^(u-v)-1)除以n的餘數為0，也即(10^(u-v)-1)*10^v/n是整數。那麼10^v/n是個迴圈小數。
這樣顯然1/n也是個迴圈小數。證畢！
這樣我們證明了存在無限不迴圈小數。
3樓：
聽說過圓周率π嗎？
π就是乙個無限不迴圈小數。無理數都是。
有理數(所有能表示成分數的形式)，分為有限小數和無限迴圈小數。
無理數是所有不能表示成分數的實數。
如何證明無限不迴圈小數是無理數？
量子永生 完整的證明樓上寫了，如果是證明迴圈小數一定是有理數。用小學知識的能解釋了。如果某個小數某一段迴圈了，其中非迴圈節長為A，迴圈節長為B 那麼這個小數可以表示成 0.非迴圈節 迴圈節 0.888 4321 4321 0.非迴圈節 迴圈節 能表示為 0.非迴圈節 0.迴圈節 x 10 A 0.8...
這世界為什麼會有無限不迴圈小數？
老堪 這個涉及到我們採用什麼樣的計數系統來作為我們數學基礎的問題。不管是歷史的原因還是偶然的因素，反正目前我們的計數系統採用的是建立在自然數的基礎上發展起來的數系，按照皮亞諾公理，任何一種 串 都可以作為純屬數學的基礎，如果我們以圓的半徑為單位所構成的圓面積作為我們計數系統的基礎，那麼這個圓的面積就...
2 是無限不迴圈小數，為何直角邊邊長為 1 的等腰直角三角形可以畫出來？
StevetsMo 1 任何實數 的 嚴格定義 為 整數 無限位數 例如 1 的 嚴格定義 為 1.00 無限個 000 2 由此可見 任何實數 都不可能或者說無法保證在 實踐 中被 準確地刻畫出來 要知道 在 任意一位 都是 能夠確定 的 前提 下，對 某個實數 進行 準確刻畫 需要保證 小數點後...