1樓：張若閒
簡單點，有理數不管再怎麼稠密，有理數都是明確的。0.1是有理數，0.1011是有理數，0.101101246499494946434616424513191還是有理數。
有理數就是確定的數，不管多少位，他就是有限的。不管它多小，你願意分多少，總有乙個最終準確的數字。
但無理數和有理數就不在乙個緯度上了，無理數是無限，且得不到最後乙個數字。
無限的意思就是，窮極所有也得不到最後乙個數，再怎麼往下分還是有。
有理數也包含乙個無限，有理數包含的是無限且迴圈小數。如0.33333333333333333。
但是所有的無限迴圈小數，都可以用乙個分數表示。
有理數是一次運算產生的結果。
無理數是二次及以上次運算產生的結果。
無理數對於有理數來說，就不是乙個次元的東西。
2樓：打火機不好吃
因為有理數雖然稠密卻不完備。
也就是說，有漏洞。實數的一種定義方式就是有理數的劃分。也就是把有理數分成兩個部分，兩個部分不能重複，不能漏，一部分的元素嚴格大於另一部分（稱為上類）。
例如全體大於等於2的有理數和其他；全體大於π的有理數和其他。上類的下界可以達到稱為有理分劃，達不到稱為無理分劃。很顯然第乙個分劃是可以達到的（2），第二個分劃達不到（π）。
有理分化就是有理數，無理分劃就是無理數，合起來就是全體實數。
這可以解釋為什麼有理數稠密還有無理數。並且如果對實數做分劃，可以唯一對應乙個有理數的分劃（扣掉無理數），也就是說實數分劃不出新的數。而保證這一點的，恰恰是有理數的稠密。
為什麼無理數要比有理數多呢？這個要用集合的勢來解釋。如果兩個集合間能建立一一對應，則說「等勢」。
可以證明有理數可以可以與自然數建立一一對應，因此有理數是「可列的」。但是全體實數不行，因而實數的勢大於有理數。事實上實數的勢也被稱為「連續統」，這個很形象了，因為實數是連通的，連成一條線，沒有空隙（有理數有空隙，分劃能劃出新數）。
事實上，有限個無交的可列集的並（比方說全體奇數和偶數），是可列的，乃至可列個可列集的交都是可列的。無論多少個有理數的勢，都沒有實數那麼多。很顯然，無理數必也是不可列（否則實數也可列），而且勢不可能比實數大，事實上它就是和實數等勢。
用測度（理解為廣義的長度、面積、體積以及推廣）來講，可列集的勒貝格測度都是0。用概率論最基本的設定來看，任意選乙個實數，是有理數的概率就是0（概率是通過測度來定義的）。對於無窮的集合來說，更小的勢的集合就幾乎相當於沒有（有點像不同階的無窮大，但是注意這個和高階無窮大的定義不一樣）。
3樓：眼鏡妹
因為有理數雖然稠密，但是並未杜絕測度比其大無窮倍的實數的存在。
有乙個問題我挺好奇的。實數的定義是什麼？如何證明在數軸上不存在除了實數之外的數？
另外，不知道為什麼高讚數學妹子喜歡爆照的心理是什麼。
4樓：
我覺得這個問題可能都不算數學問題了，而是單純的乙個語文問題。。。
為什麼有理數稠密仍然存在無理數，因為稠密不等於所有啊。有理數稠密，只代表任意兩個有理數之間有無窮多個有理數，可沒說這兩個有理數之間全部都是有理數啊。
順便一提，我覺得問這個問題的答主可能沒有好好的去看數學教材，推薦去看看菲赫金哥爾茲的微積分學教程第一冊第一章實數理論。
5樓：
最令人驚訝的是超越數，迄今為止也沒發現多少個超越數，但卻可以證明超越數集的勢大於代數數集的勢！這種反直觀的事情，真的是事實嗎？但是數學並非是一直研究事實的，很多數學概念的創立只是為了使得數學自身的融洽，滿足自身的邏輯體系而已。
然而這種超越事實的思維，正是人類未來面對這種事實出現時所必需的。可能這正是超越數之所以稱為超越數的原因之一吧。
6樓：JennyVenus
稠密的不是連續的
就如同積分，分割的非常小，求和結果也是近似的
而積分的自變數就是連續變化的，某一點上△x是0，連續的△x求和才是精確的。
7樓：uciicu
沒學過這個，不過對於某些對學科基本定義都產生懷疑的同學，我學生生涯還是見過幾個，那幾位可真是思路清奇啊，從內到外都是清奇一派。
不敢懷疑他們，不知道他們後來找到女朋友沒
8樓：L.C
看了一圈，大概明白題主想問什麼了。你是不是覺得緊挨著乙個無理數的兩個有理數中間沒有有理數，與稠密的定義矛盾?實際上，實數是不可數的，無法和自然數一一對應，也就是說並不存在緊挨著乙個數的另乙個數。
9樓：蔣寅
稠密相當於你ps畫布可以無限放大，精度無限提高沒有盡頭。
稠密是論證任意兩個有理數之間，提高精度就會有其他有理數，不是論證兩個有理數之間沒有無理數。
10樓：今 桓
1、為什麼存在無理數？
先解釋一下有理數的稠密性，其是指有理數在數軸上是無限接近的，但因為數軸上有無限個點，所以不存在有理數都佔滿了，無理數就不存在的情況。
2、小數點可以無限寫，怎麼存在無理數？
我稍微可以理解題主的意思，是不是既然可以無限寫，那是怎麼做到不迴圈的，
嘶～圓周率不就是個最好的例子嗎？
11樓：路過的普通人
最開始人們也以為只有有理數，後來因為人們發現了勾股定理，然後根號二這個無理數就被發現了。。。因為人們沒法證明這個數可以用有理數表達
12樓：雅痞
稠密=「無孔不入」
簡單理解就是任意兩有理點之間總會存在第三點為有理數，這個時候我們並不知道物理書是否存在，但是可以確定的是，在這兩個有理數之間，總是可以找到第三個有理數。
連續=「密不透風」
有理數不是連續的，因為總可以找到一數列，其中的每一項都是有理數，但是極限是無理數，這就說明求極限的運算在有理數集中，不可以成立。 換句話說，實數是連續的，任意找到乙個實數列，其中每一項都是實數求完極限之後依然是實數。
13樓：
求你別上知乎了，趕快找本數分教材看吧。
解決你的問題，都不用把整本書看完，第一章第一節足夠了（當然不能找那種開頭講集合的那種）。
上知乎的時間，真的能幹很多對於你來說真正有意義的事兒。
或者你的問題不在數學，而在語文上？「稠密」和「完備」。
14樓：不太有名字
寫個簡單的。
有理數的稠密性是指任何兩個不相等的有理數之間必然存在第三個有理數。
無理數也是稠密的。
稠密不意味著完備。由有理數和無理數構成的實數，才是完備的。
假設數軸上的有理數有n個，那麼n個有理數開1次方，2次方，3次方一直到n次方，一定會得到遠大於n的無理數。所以無理數遠多於有理數。
15樓：lkq
因為每乙個有理數後面加乙個任意乙個無理數都是無理數，就是乙個有理數對應無數個無理數。而不論無理數後面加上什麼都不能成為有理數（除非是正負的無理數自己相加為零）
16樓：蒲且
你的基本認知就有問題。
沒有任何東西是絕對稠密的，至少就人類的所知來說是的。
水夠密，裡面還能加鹽。
金屬夠密，兩塊金屬放在一起緊貼之後還可以互相滲透和擴散金屬原子，猶如液體滲析。
任何不透光的物質（包括人體、鋼鐵、混凝土等等一切人造物、非人造物），其實從原子角度看，電子和原子核只佔據5%的空間，剩下95%的空間都是虛無。從這層角度上來講，人體內部的95%空間都是虛無。
95%空間都是虛無的乙個東西，你說它稠密？
那只是你看起來的而已！
放在數學上一樣如是。
刀子能戳穿生物體導致流血，那是因為生物體相對刀子來說是稠密的。
刀子戳進溪水裡毫無作用，感受不到阻力，那是因為溪水相對刀子不稠密。但你換成馬里亞納海溝的水試試？水壓超大化之後，水相對於刀就變得稠密了。
有理數和無理數就是這樣。
亞里斯多德和柏拉圖一對師徒倆，乙個認為無理數不存在，乙個則發現了無理數。就是思維上設限與不設限的區別。
任何概念的理解與應用都有相對性與適用性，你的思想放開了，才能有更多的想象力與發展的可能。
17樓：荼沐
既然無理數是稠密的，那麼為什麼存在有理數( 狗頭.jpg
正經回答: 用康托三分集可以證明實數點比有理數點多(實數點不可數，因為有理數和自然數等勢)
18樓：一力徐羊
稠密的意思是任意兩個有理數之間總存在有理數吧。
就像在北極的北極熊和南極的企鵝中間總存在乙隻兔子，但並不能說明這之間沒有人存在啊，地球上幾乎都是人，這不很正常嗎？
19樓：張三
1.有理數的完備化空間稱為實數那些新新增的點被稱為無理數(參見度量空間的完備化）
2如果有理數上採用其他度量可能得到的另外的完備化空間例如p-adic
3因為採用有理數的完備化空間自然地有理數是其中是稠密的
20樓：LHS
"稠密"的意思是在任一有理數的任一鄰域中總會存在其他有理數，並不保證這個鄰域中不含無理數。
如果從數軸上來理解無理數令你困惑的話，那麼不妨從有理數域Q的擴張來理解，那麼你就會發現實數域R對於有理數域Q是維度的增加，而且維數的增加是無限次的
21樓：星月夜
有理數集是「稠密的」但不是「完備的」，而實數集是「完備的」（實數基本定理），說明實數中肯定存在有理數以外數。
接著之前「上地鐵」的比喻，儘管你知道地鐵上任意小的乙個地方都有人，但是這兩個人不是「貼在一起的」（上確界定理），所以你還可以擠進去。
22樓：uclecon
有理數集是可數集、零測集。從直觀上大致就是說，把所有的有理數排成一列，隊伍的「長度」是0，所以數軸上幾乎處處都是無理數。
看一下《實分析》的教材就明白了
23樓：謝禹川
乙個集合如果在某種運算下是封閉的，那我們就可以認定這個集合有著某種良好的性質。但有理數在取極限的運算下是不封閉的，也就是說我們可以通過取極限的方法定義出不屬於有理數集的新數，所以我們需要定義乙個包含有理數域的新數域，以對取極限保持封閉，方便極限運算。故而只滿足於有理數域的稠密性是不夠的，我們需要乙個包含更多數的、對取極限封閉的新數域，而這就是實數域。
至於為什麼要引入無理數，你想想看，如果稠密的有理數中有乙個「空」，通過取極限，可以使得乙個有理數列「趨近」於這個空，那麼我們就可以用一串有理數描述這個空，但是我們沒辦法用乙個具體的有理數表示這個實際存在的「空」，而實數告訴我們存在乙個無理數對應著這個「空」，所以引入無理數當然是自然且方便的選擇。
24樓：白與黑的距離
我的頭髮也是稠密的，每次去理髮都要求Tony打薄一點，可是扒開頭髮還是可以看到頭皮，同時可以斷言，頭髮根截面積之後與頭皮面積比值很難超過0.2，但在數軸上這個比是0。
25樓：timmycoo
其實「稠密」這個性質想說的是，對於乙個集合，我們其實僅僅用他的稠密子集就可以大致逼近每乙個元素。那很明顯了，實數集分成了有理數和無理數集，既然有理數稠密，我們就可以有有理數來逼近每乙個無理數了。用拓撲的語言來說，對於乙個無理數的任何開鄰域，我們總能找到乙個有理數序列，這個序列的無窮多個有理數都屬於這個開鄰域。
為什麼都是稠密的，有理數可數，而無理數不可數呢？
find goo 中位線悖論，了解一下。現在的數學，拿到計算機中就不成立了，需要演算法修正，不然沒辦法用，因為數學是無限連續，而計算機中有上下限限制的，不存在無限連續。本質上講，計算機演算法才是客觀的數學，是可以客觀試驗的。而人數的數學公式是一種擬合，是唯心的，如平行公理，二條直線在自然中是不可能一...
對於哪些 0, 1 中的有理數 q，tan q 是有理數？
悅望依 難度應該不大 可能是我偽證了qwq 我們不妨假設設 如果分母b是乙個偶數，那麼我們設 新分數 仍舊滿足 反覆二倍角 考慮 tan的n倍角展開 如果 那麼由於 所以q無解.若不等於0，則可設 由於我們只考慮b是奇數，帶入n倍角展開，得到 利用乙個小技巧 因為 所以 所以 由於 m,n 1,所以...
如果 a b 是有理數，那麼為什麼圓周率不是有理數？
郭瀟湧 a和b都是有理數的情況下，a b才是有理數啊。如果圓周長是有理數，那個直徑就不是有理數。如果直徑是有理數，那麼周長就不是有理數。事實上圓周率不僅不是有理數，而且也不是代數數 類似 這樣的數是代數數，它是乙個整係數多項式方程的解 它是超越數。 假設c a b,那麼c是有理數還是無理數跟a和b型...