1樓：find goo
中位線悖論，了解一下。
現在的數學，拿到計算機中就不成立了，需要演算法修正，不然沒辦法用，因為數學是無限連續，而計算機中有上下限限制的，不存在無限連續。
本質上講，計算機演算法才是客觀的數學，是可以客觀試驗的。
而人數的數學公式是一種擬合，是唯心的，如平行公理，二條直線在自然中是不可能一直平行，那樣槓桿力會變得無限大，光都受引力影響會彎曲，根本不有在什麼絕對平行。
無限連續就會導致很多數學悖論，自然界是量子化世界是離散的，兩者有本質區別，計算機的演算法計算也是離散計算，不是無限連續計算。
這兩者差異在連乘，指數增長下，會產生蝴蝶效應，指數鴻溝，如深度學習中梯度演算法中，梯度消失就是這種表現。
數學本質是文科，很多都是人為規定，如無窮大參加運算就人為規定個返回值，計算機中用不常用符號表示，極限在計算機中是無限死迴圈，一旦打斷取值無限死迴圈也被打斷變成了具體數，也就不能參加運算了。
所以計算機演算法才是真正的客觀數學，以客觀計算為中心，是自然科學。
而人類的數學本質是文科，模型是擬合建模語言，建立在各種自然界不存在的假設上面。
2樓：
關於這個問題，要注意的是，稠密性和連續性是兩回事。
直觀來看，我們說有理數集是稠密的，是指在數軸上任意取乙個區間，不論這個區間多小，都必然包含至少乙個有理數。但在數軸上任意取乙個點，這個點就不一定是有理數了，但一定是某個實數，因為實數集是連續的，或者說實數集具有完備性，滿足一系列完備性原理/定理。
至於可數和不可數，有理數可數可由有理數集的可列性證明（與自然數集一一對映），而Cantor的對角線則證明了實數不可數。
3樓：晗妹
稠密和可數不可數沒關係，，，你這個問題有問題，稠密是拓撲性質。
可數不可數這個是集合的勢。都不是乙個範疇有什麼因果關係？
對於歐幾里得空間Rn，你可以證明如果乙個集合是稠密的，那他至少是無限可數的（一定不是有限的）並且是可以做到取乙個稠密子集恰是可數的。
4樓：beanandbean
我來殺雞用牛刀、降維打擊了：稠密線性序是乙個一階公理化理論，根據勒文海姆–斯科倫定理顯然可有不同大小的無限模型。同時，稠密線性序是乙個 範疇的理論，即其所有可數模型都是同構的，但是 和 顯然因為完備性而不同構，所以 不能可數，也即無理數集 不能可數。
首先，題中所說的「稠密性」，我們將其抽象為模型論中的（無端點）稠密線性序理論（theory of dense linear order with no end elements），符號表示為
這裡的前三條公理保證了 在論域上是乙個全序關係，即滿足三分律和傳遞性，第四條公理要求「任意兩值之間必還有乙個值」，即稠密性，而第五條公理要求「任意值之前、之後都還有值」，也即不存在最大、最小值，即「無端點」的要求。
易於驗證，在 和 上的自然全序都平凡地滿足上述公理。同理，無理數集也滿足稠密線性序理論。
關於稠密線性序，我們的第乙個關注點是它是乙個一階理論。這裡的一階指的是「所有量詞都作用於論域上的元素」，也就是比如當我們考慮數集 時，上述所有的公理限制的都是「對於 上的任意一數 ，......」或者「 上存在一數 滿足......
」。可以比較乙個非一階的公理，比如實數集的完備性公理：（注意到其中使用了量詞「對於 的任意子集」）
的任意有上界的子集必有上確界，寫作
（此處用模型論記法， 表示 在 所表示的子集中； 為 的縮寫）
一階理論和更高階理論最大的不同在於它是乙個完備的理論（注意這裡的完備性和實數的完備性沒有關係，而是指模型論中的哥德爾完備性）：若乙個一階理論（即一組公理的集合） 蘊含命題 ，即每乙個滿足該公理的數學結構都滿足命題 ，那麼存在乙個有限長度的 的證明。
更廣為人知的是，在更高階的邏輯語言中，包括了一定算數符號的理論能夠產生確實被其模型所滿足、但是不存在有限長度證明的命題，也即哥德爾第一不完備性定理。但是稠密線性序是乙個一階的邏輯理論，也就是說我們可以自由的使用證明的存在性來輔助我們推理，其一直接推論就是一階邏輯的緊緻性定理：任意（可能包含無限條公理的）理論 可被乙個模型所滿足，當且僅當 的任意有限子集都可被滿足。
證明：假定 不可被任何模型滿足，根據語義蘊含的定義和假推出真的法則，我們說 蘊含乙個矛盾，即 。又根據一階邏輯的完備性，存在乙個有限長度的證明從 推出矛盾。
現在，考慮這個證明中所使用的前提，因為證明的長度有限，其必然只使用了 中的有限條前提，因此可令 為這些前提所構成的有限子集，那麼從 即可推出矛盾，也即（根據演繹系統的可靠性） 是不被任何模型滿足的，因此若 的任意有限子集都可被滿足，則 也必可被滿足。原定理的另一方向是平凡的。
現在，我們已經知道稠密線性序理論是有乙個可數無限模型 的一階理論，因此對於任意大於 的無限基數，勒文海姆–斯科倫定理都保證了稠密線性序有乙個至少如此大小的模型——也就是說，不僅僅是存在不可數的無理數集不值得奇怪，我們還可以有大小為 、 等等的稠密線性序集，所謂的「稠密性」看似是將一組值完整地排布在數軸上的性質，但其實對給出的數學結構中物件的具體數量（也即我們直覺理解中的稠密程度）沒有作出任何限定。
現在，如我們在開頭所說，稠密線性序是 範疇的，這點最早被康托爾證明：
證明：假設 ， 是稠密線性序的兩個可數模型，那麼我們可列舉 中的元素為 、 中的元素為 。現在，我們定義 上的乙個新序列 和 上的乙個新序列 ，使得它們滿足如下關係：
當 為奇數時，令 ，即未在 中出現過的、在原數列中最靠前的 ，然後找到 滿足對於所有 ， 當且僅當 （因為兩個序集都稠密、無端點，我們總可以找到這樣的 ）。反之，當 為偶數時，令 ，即未在 中出現過的、在原數列中最靠前的 ，然後找到 滿足對於所有 ， 當且僅當 。現在，我們可以考慮對映 滿足 ，那麼若序列 和 分別完整地包括了 和 上的所有元素，則顯然 是乙個保序的同構對映。
我們現在就用數學歸納法證明 上的每乙個元素都出現在序列 中：根據定義，顯然 ；若 出現在上述序列中，即 ，那麼 的出現不會晚於 後的下乙個奇數，因此根據數學歸納法任意 都出現在了序列 中。同理，任意 都出現在了序列 中，因此上述對映 確實構造出了 到 的乙個同構。
現在，我們知道有理數集是可數的，因此若無理數集、實數集也都是可數的稠密線性序，那麼它們必然都同構。然而，有理數集不完備而實數集完備，因此它們明顯不同構：
證明：假設 是兩集合自然全序之間的乙個同構，那麼我們考慮 的子集 。 顯然有上界，比如 就是 的乙個上界，因此根據實數的完備性 存在乙個上確界 。
現在， 是同構，因此我們可找到一有理數 ——若 ，則根據稠密性存在有理數 滿足 ，也即 ，與 是 的上確界矛盾；若 \sqrt" eeimg="1"/>，則根據稠密性存在有理數 滿足 q > \sqrt" eeimg="1"/>，也即 f(q)" eeimg="1"/>，但 又是 的乙個上界，也與 是 的上確界矛盾。因此，我們必有 是有理數，這不可能。所有，上述同構 必然不存在。
因此，根據稠密線性序的 範疇性可知實數集不可能可數，因此其去除可數的有理數集得到的無理數集必然也是不可數的。
5樓：hhh
因為有理數能寫成p/q形式所以可數，因為有理數的四則運算都是有理數，任意兩個有理數a和b之間都有有理數(a+b)/2是介於a和b之間所以稠密。稠密和可數沒有關係，康托集是稀疏不可數的。
6樓：鍵山怜奈
因為可數只不過是指的和自然數集存在集合意義上的雙射，所以無理數不可數也沒有什麼可奇怪的。可數沒有任何深層的含義，只不過是集合的一種性質。
既然有理數是稠密的，那麼為什麼存在無理數？
張若閒 簡單點，有理數不管再怎麼稠密，有理數都是明確的。0.1是有理數，0.1011是有理數，0.101101246499494946434616424513191還是有理數。有理數就是確定的數，不管多少位，他就是有限的。不管它多小，你願意分多少，總有乙個最終準確的數字。但無理數和有理數就不在乙個緯...
有理數 的 有理 是什麼意思？
Chenxing Li 有理數 無理數 的定義 可以 無法用整數相除 p q 的 比例 方式表達的數字。然而，比例為什麼要用 理 字呢？追根溯源，首先要由發現 無理數 概念的古希臘人來背鍋 在古希臘語中，描述無理數的形容詞 alogos 是個多義詞 既可表示 缺乏理性 又可表示 無法表達 的詞源 是...
我可否認為有理數在數軸上的長度為0，而無理數的長度為無窮小呢？
賈嗚 說的是實際上現實中實踐中應用中不能準確取整。理論上有個1 但實際上不能取一段下來這一段就是那個1 這是理論模型和實際應用之爭 宣告 不是專業人士！認識有錯誤，表達不專業還請各位海涵 恕我大膽猜測一下，題主的意思是，有理數是 具體 的，所以在數軸上是不佔長度 如果數軸是線 或者說不佔體積 如果數...