為什麼我們得出的所有常數都是無理數？

1樓：Will

首先，有理數/無理數和採用幾進製沒有任何關係。有理數在任何進製下都是有理數，無理數在任何進製下都是無理數。區分它們的標準是能否表示為兩個整數的比值（能的話就是有理數，否則就是無理數）。

乙個整數在任何進製下都還是整數，這很好理解吧。

其次，許多人都以為所有的無窮大是一樣的。其實無窮大有不同的「勢」，是可以比較大小的。可列集（就是你可以將其中元素乙個個地羅列出來的集合，比如自然數集合）其實是最小的無窮大。

任何不可列集（比方說[0, 1]之間的所有實數，你沒法舉出乙個排列方法遍歷所有元素）都比可列集要大，而且大得不是一點半點，乙個元素對應無窮個元素都無法覆蓋。可列個可列集都仍然是可列集，好好體會這其中的差距吧。總之這方面說來話長，康托爾是開山鼻祖，可以研究一下他的理論。

最後就簡單了。有理數是可列集，而實數是不可列集。所以顯然無理數是不可列集。

乙個有理數對應無窮個無理數都不能覆蓋無理數集合的分毫。可見兩者的差距。如果朝實數軸上隨機射出一顆子彈，命中有理數的概率應該是零。

所以，乙個常數是無理數並不奇怪，要是乙個常數是有理數的話，倒反而要好好找一下背後的原因了。

2樓：喜歡物理的結他手

我覺得這是和我們的量綱有關，因為我們用的單位是我們自己主觀定的，而整個宇宙的單位和我們使用的單位不一樣，於是要轉換單位，便有了無理數出現。

3樓：執悲今厄

先問是不是，再問為什麼。

第一，因為蒲朗克尺度的存在，所以所有物理常數都必須是蒲朗克尺度之間有限次有理運算的整數倍。

第二，如果以人為定義的單位為標準，那麼所有常數都必然是無理數。因為無理數的數量是比有理數數量高階的無窮大量，即你隨機在數軸上點乙個點，那麼它是無理數的隨機概率為p＝100%-o（p）＝100%。而自然界的常數與人為定義的單位之間的關係，也是隨機的，所以它們之間的比值必然是無理數。

第三，近代已經嘗試用一些精確測量的常數來重新定義人為單位，比如光速和公尺。如今公尺的定義為：真空光速1/299792458秒走過的距離。這樣一來，光速就是公尺/秒的整數倍了。

綜上，物理常數如果以蒲朗克尺度為標準，那麼它們都必然是整數；如果以人為單位為標準，那麼它們都必然是無理數；如果以精確的物理常數來定義人為單位，那麼它們都必然是有理數。