1樓：牛博
簡單看乙個有界的連續函式，就是您隨便畫一條連續的線，然後截一段。
假設它把[a,b]對映到了［c,d］,即每乙個[a,b]中的元素都能找到對應的值。
現在，把它離散化一下，假設就有 10 個點，3 個有理點，7 個無理點（無理數比有理數多得多，不嚴格模擬），同樣，被映到的地方也是3 個有理點，7 個無理點。
如圖（紅的為無理點），顯然，值域端無理點，會有空缺沒被線連到，定義域端也會有些無理點沒法找到有理點與之連線。
所以，這是不可能的，再把離散無限稠密化，就是連續， 同理得證！
可能有人說，把區間放大到無窮會不會可以構造？
結果也是一樣的，因為無理數的勢比有理數的勢大。更專業點的，請參考其它數學語言式的證明。
關鍵只要記住，無理數比有理數多得多，一想就通！
誠然，普通人初看到這一點可能不太好理解。
2樓：ReL劉
首先，定義域為R的連續函式的值域為R的乙個非空子區間（包括從-∞到+∞即R本身）或一常數（本題顯然不可能是這種情況） 故該函式的值域應不可數（或稱不可列）。現考慮從有理數對映到無理數，由於有理數為可數集，這部分的值域至多可數而從無理數對映到有理數是，這部分的值域為有理數子集，同樣至多可數現取二者並，即為函式值域，其至多可數，產生矛盾。
綜上，不可能存在這種函式。
3樓：曼斯迪
潛憶江南回答是不對的.用到結論和論證大錯特錯.首先一點是他或她證明過程用到介質性,誤認為原題條件將定義域中有理數對映到全體無理數,這顯然做不到,誤導人的,曲解的,和連續性沒關係.
在某次科普活動中已經回答過一模一樣的事情, 連續函式將開集對映為開集, 而對於任意開集它是由這個開集中有理數和無理數共同構成,而由已知我們知道它的象基數最多是c0或者說w0,不會是開集,矛盾.
更一般地,有理數不會是 集,無理數不會是 集,當然也不會是它們的可數次 運算.
這道題與其說考察數學分析,不如說是考察點集拓撲. 我的問題是現在98後本科生都是誰教的?
4樓：lynxliu
應該不可能。實數集裡面的有理數是非常稀少的，基本就是零，所以自變數有理數的取值是跳躍的，無所謂。連續性提現在自變數是無理數的點，但是其值是有理數，這個值是不連續的，無法滿足連續函式的要求。
有理數本質上是可列的，能夠乙個個數出來，無法滿足連續性要求
5樓：雨雪晴
如果這個連續函式存在，那麼f^(R\Q)=Q. 所以Q是乙個G_δ集，由於Q稠密，所以Q是第二綱集，與Q是可數集矛盾。
乙個更困難的問題：證明不存在連續函式，把正規數對映到非正規數，把非正規數對映到正規數。(正規數就是十進位制展開後每個數字出現的密度都一樣的那些實數)。
6樓：愛柯衣生
我們假設存在這麼乙個連續函式f(x)
那麼考慮g(x)＝f(x)-x
所以g(x)必然是無理數，且連續
如果g不是常數函式，那麼，g的值域必然會取到兩個數，而在這兩個數之間必然有乙個有理數。
由連續函式的介值性，g可以取到這個有理數，這和前面所說的「g是無理數」矛盾
所以函式g必然是常值函式，且取值是無理數
那麼問題來了，存在這麼乙個無理數，使得它與所有無理數的和都是有理數嗎？當然不行，它和它自身的和必然不是有理數。
也就是說，不存在這樣的連續函式f，使得有理點取無理數，無理點取有理數。
為什麼會愛上夢裡的乙個不存在的人？
嗯，昨天晚上做夢哭醒了，而且最離譜的是什麼，是我夢到劉昊然 雖然我只看過幾集他的電視劇集和幾部電影 然後，我們竟然是以前任的身份在地鐵站相遇。而且那個地鐵站特別奇怪表面是平淡無奇，可是當你進去的時候，裝修就像乙個五星級酒店。好了說正題，我本來是乙個人出來坐地鐵，不知道要逛街，但是當我坐到中轉站的時候...
在乙個靜止的空間中，是否不存在時間？
衍木 在我理解，時間是乙個相對的存在，其本身就是人類對物質運動得到的計量單位，由參照物和觀測點來決定，從物質運動來說，時間沒有意義。絕對的靜止並不存在，但我們可以假設乙個相對靜止的環境，人對世界的概念最為明顯的就是自身身體的衰老，我們假設乙個人進入了絕對的靜止，其身體細胞停止新陳代謝，血液不再流動，...
有人說時間是不存在的，時間只是乙個概念，那在人類還沒提出時間這個概念的時候。那時候就沒有時間了？
yuadao 我也相信時間是不存在的，它只是人們對力的相互作用的乙個最膚淺的認識。最初的人們不知道力是什麼，只知道所有的東西都都在不停地運動，於是想像出了時間的概念。所以，世界線是不存在的，或者，你可以把世界線理解為乙個點，因為只有乙個點，所以無始無終，不能快進，不能倒退，自然也不能穿越了 狸花貓 ...