為什麼有理數一定能表示為乙個有限小數或無限迴圈小數，以及怎麼把乙個無限迴圈小數化為它的既約分數形式

1樓：流數術

（在十進位制中）因為有理數一定可以寫成兩整數之比，而在豎式除法中每次得到的餘數必定小於分母的十倍，所以必定在小數點後分母十倍的位數內出現迴圈。第二個問題是有辦法的，初一教材裡有，中考也考過，舉個例子:0.

1迴圈乘以10變成1.1迴圈，後者減去前者：9乘以0.

1迴圈等於1，解得0.1迴圈等於1/9，再舉個例子：0.

142857迴圈乘以1000000變成142857.142857迴圈，用後者減去前者，999999乘以0.142857迴圈=142857，解得0.

142857=142857/999999約分得1/7總之，把真小數乘以10^n是第一迴圈節的最後一位落在個位上，用後者的式子兩邊減去前者，得到乙個方程，解出來。

2樓：

迴圈 ==> 有理數：trivial有理數 ==> 迴圈：

只需證明對任意，集合,只能取有窮個值即可。這等價為為有窮集合。記，我們有原集合為，顯然這是有窮的。

3樓：王小龍

一、問題重述

要證明：有理數=有限小數+無限迴圈小數，咱們首先來做幾個說明：

有理數又稱為比例數，因此有理數和分子分母是整數的分數是等價的。每個有理數都有乙個既約分數和它對應，既約分數是指分子和分母不僅是整數，而且二者的最大公約數是1。

有限小數是有理數一定正確。

我們可以把需要證明的有理數的範圍縮小到(0, 1)之間，如果在這個範圍內結論成立，那麼推廣到全部有理數上結論也成立。

無限迴圈小數是形如的小數，其中前面的m個小數字沒有迴圈，迴圈節是。

為了證明題目，需要證明下面兩個結論：

無限迴圈小數一定是有理數。

有理數一定是有限小數或者無限迴圈小數。

二、證明無限迴圈小數一定是有理數

首先我們任取乙個無限迴圈小數，從它開始迴圈的地方切一刀，把前面和後面的部分分開：

因為分數/有理數的四則運算還是分數/有理數，所以為證明q是有理數，只需要證明可以寫成分數的形式。

我們把迴圈節提出來，把再分解一次：

後面的無限迴圈小數的迴圈節是連著k-1個是0，然後跟乙個1，恰好滿足：。原因是：

因此我們得到：

這樣就證明了是有理數。

三、證明有理數一定是有限小數或者無限迴圈小數

我們隨便拿來乙個既約真分數。也就是分子分母互質，並且值在(0,1)之間的分數。我們要證明它一定是有限小數或者無限迴圈小數。

思路：因為由上面的分析我們知道是迴圈節為c的迴圈小數，我們首先試探任意有理數是否一定存在迴圈小數的相等形式：（這個等式不一定成立，但是可以啟發我們）。假設這個等式成立，則：

交叉相乘，得到。因為a、b互質，為了能讓等式成立，就必須使b是的約數。因此，只要是某個連續若干個9組成的整數的約數，那麼上面那個式子就一定成立。

因此，我們需要嘗試找乙個整數n，滿足b能整除。這啟發我們構造乙個特殊的數列。

構造：對任意，我們定義乙個數為連續m個9組成的整數除以b的餘數：，如果有乙個，那麼咱們的目的就達到了。

同餘除法有一點點複雜，經過一定計算我們可以得到乙個遞推公式：

繼續推導可以得到乙個一般遞推公式：

因為乙個數除以b的餘數只能是0到b-1之間的b個整數，一共只b種可能，因此不斷把k增大，一定有某兩個f的值相同了。咱們不妨就假設，這說明：

因此是的約數。

雖然這並不能說能整除其中乙個（除非是素數），但是可以說能分解成兩部分，各整除其中一部分：我們令，滿足整除，整除。前者可得整數滿足；對於後者，我們首先由的定義得知，其中是某個整數，從而兩邊加1得，進而由既整除又整除得到能夠整除，得知存在另乙個整數滿足。

因此我們得到：

咱們令則可以得到：

和上一節的結論一比較，就可以知道這一定是乙個有限小數或迴圈小數。由於分數a、b的選擇是任意的，證明完畢。