1樓：蒟蒻
和生成隨機數的演算法有關。
假定某個演算法生成乙個隨機有理數，且生成整數的概率為p，那麼在這個演算法上新增一步Q到Q的雙射，使每個整數映為非整數，非整數映為整數，新的演算法生成整數的概率為1-p。
新增不同的雙射，也可以構造整數率為p/2等不同值的演算法。顯然不可能p=p/2=1-p，因此不同的生成隨機數的演算法得到整數的概率是不同的。
2樓：小2哥
這個問題，很有意思，如果沒有深刻思考過柯神的概率公理化的意義，是看不懂幾個答主的答案的，建議可以先看一下貝特朗奇論和研究生高等概率論的最初1-2章，琢磨琢磨，再來看答案。
（先占個坑，以後來填）
3樓：
下面我來詳細解釋一下。
整個數學內涵與另外乙個更有趣的問題是一樣的：
在實數中隨機選取乙個數，抽中有理數的概率為0.
這個結果意不意外？
詳見該問題我的回答：
隨手畫一條直的線，它的長度最有可能是有理數還是無理數？
首先在概率空間上，關於概率有三條基本的公理假設。
概率值應該是非負的。這就是公理化的第一條，非負性。
2.大集合的概率值應該是1，因為它包含了所有的可能。這就是公理化的第二條，歸一性。
3.有限可加性的推廣，可數可加性。即乙個兩兩無交集的事件序列之並的概率值應該是每個事件的概率值之和：
對兩兩不交的子集序列 ,我們有
以上三條就是概率公理化的三條。
如果按照題主隱含的意思，應該是每個有理數的概率是相等的，設為 .
則在整個大集合上的概率是
因此，首先不符合歸一性，這麼做無法成為能計算概率的空間。
其次，就算你按照以前直觀的理解去計算也是無法得到答案：
其實，這裡作乙個小小的改動就可以使得在有理數集上有很好的概率。
即讓我們的概率在每個有理數上不均勻分布，再加上適當的技術處理即可。
事實上這樣的選擇有無數種，很多是非常有名的。
a. 選擇一列收斂的正的級數 即可，而且我們可以假定其極限值為1.
即數列 , 滿足
這樣的級數，滿大街都是，即使極限不是1，只要除以極限值就變成1了。
非負性也很容易處理。
b. 有理數是可數集。
可以找到有理數集到正整數集的一一對映，即對每個有理數集標號。
溫欣提市：初中篇4|識多少-無理數比有理數多嗎？
令對映 ,其中
很容易驗證，這是個雙射。
現在我們就可以來聊這個概率問題了。
為了表達方便，我將問題改成在正有理數中抽到整數的概率：
假設在正有理數集上存在乙個概率分布如下：
其中這裡的數列 就是上述滿足要求a的數列.
如此抽中整數的概率是：
實際上，這裡的數列 如何選擇就決定了這個概率分布是什麼樣的，即有理數在不同的值上的概率權重。
事實上，構造不同的數列 可以使得抽中整數的概率取 中的任意實數。
而有一些做法是比較有名的，源於各自的實際問題：
比如幾何分布，對應的數列就是：
泊松分布(引數)，對應的數列就是：
那些年被數學虐的我們
4樓：張子堯
我覺得大家都寫的太複雜了，都拿出一套套的公式來證明自己的觀點，我就給大家寫點不一樣的，簡單一點的東西。
這個問題的答案很多人都已經解答了，就是沒有概率，或者說概率0概率是什麼？概率p無非就是以解的個數為分子，以基數的個數為分母，所得的數，即為概率。
那麼我們來分析一下這個問題，有理數的個數是多少？趨於無窮。整數的個數是多少？趨於無窮。
雖然兩者都是無窮，但是無窮也是有區別的，假設有理數的個數是有限的僅僅是趨近於無窮，這個集合肯定是大於這個集合的，因為∈，所以概率p>0；同時根據有理數的定義，∈，那麼有理數的個數肯定會多於整數的個數，因此概率p<1。
也就是我們從有理數中抽取乙個數，不一定是整數，僅僅只能得出這個結論而已（等於廢話）。
5樓：
該問題有無窮解
這個問題並不難前面也有人解釋過。需要重新定義概率這個東西。
其實概率測度就是在全概率空間上測度為1的測度。一般非數學專業所學的概率測度都是通過概率密度來定義的一種指示測度。然而這種測度在該問題中是不成立的。
測度需要滿足非負性可列可加性，因此，如果你把全有理數集合當作你的概率空間的話，那麼P(Q)=1，這就推出了所有的有理點的測度為0.那麼你每個點的測度怎麼定義呢？我可以這麼定義，我說在1這個點測度為1，其餘點均為0，這是不是測度呢？
這顯然是，這是最基本的離散型隨機變數了。那麼整數點中出了1外所有點概率均為0，這玩意我可以隨便寫，如果非要抬槓說整數點的概率必須一樣的話，那我只能說，所有整數點的概率為0。畢竟可列可加性。。。
6樓：昭華學園
應該趨於零而非零。簡答：可以證明1.
在(0，1]上的有理數與[0,+∞)上的有理數一樣多；2.在(0,1]上有無窮多有理，而只有1個整數。3.
在每個相鄰的整數即(n，n+1](n∈Z)上有理數分布相同。所以P=1/+∞→0
7樓：
樸素的想法，非常樸素：
1。 整數與有理數等勢，而且Q\Z與Q等勢，因此Q與Z與Q\Z等勢2。 在Q中抽到的數字不是Z就是Q\Z，因此P(Q)=P(Q\Z)+P(Z)
3。 由於等勢因此P(Q\Z)=P(Z)於是1=2P(Z) -> P(Z) = 1/2
此處略證：Q\Z與Q、Z等勢以及3中的概率關係，僅僅是直覺。
8樓：如花似玉
我們假設某種"測度"滿足平移不變性，我們發現有理數集可以寫成整數集的無窮多陪集的不交並，所以整數集的測度是0。當然這並沒有什麼卵用
9樓：南山乙隻狗
定義正整數R，集合A=，則個數為R，集合B=則集合B個數為R^2,並集A+B的個數不小於R^2,不大於R+R^2.那麼在A+B中隨機抽出乙個元素，其元素屬於A的概率，不小於1/R,不大於1/R+1。當R趨於∞，集合A和集合A+B即符合題目所要求的集合。
當R趨於∞時，以上兩個結果都是趨於無窮小，極限值為0.所以抽中的概率為無窮小，極限值=0.極限值為0，不代表抽不中，可以抽中，抽中概率為無窮小，極限才是0。
（這裡涉及極限值的理解）
以上的構造是基於題目中「所有有理數」，得出的A+B才是符合的，當你題目改成「所有小於100的有理數」，集合A+B不符合題意。但是結果仍為無窮小。可用幾何方法理解，在實數軸中，在小於100中，整數個數是可數的100個點。
而所求有理數集合為線段（0，100],線段是由無窮個點組成的，概率為100/∞，仍為無窮小，不為0，只有出現極限值才是0。
10樓：Y-X Huang
就這道題來講，這個概率是無法給出的，因為無法構造概率空間。問題的解答需要用到高等概率論的知識。
首先考慮上的全體有理數能否構成乙個概率空間，注意這裡「事件「對應「有理數」
=上的全體事件（有理數）構成的集合
=上任意個不同的事件（有理數）構成的集合
=任意抽取乙個有理數恰好為的事件
現在你無法定義概率測度P，使得，，
且對於任意的，都有。
因為事件有無窮多個。都會造成矛盾。
11樓：撲克先生-AQ5J
看你所定義的數字精度了,如果精度為0.1
0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0 這十個數中1.0的概率為10%
如果精度為0.01,概率就為1%
以此類推,如果所有的無限小數都算進去,抽中整數的概率無限接近於0,即 10^(-∞)
12樓：吳昊
有理數包括整數和分數，而整數和分數都是無窮多的，即你任取乙個整數，我都能取乙個分數與之對應，算概率的話分子分母都為無窮大，我不知道那些認為絕對為0的是怎麼算的，請給出證明過程。
我知道有些人的思路是幾何概率來處理無限等可能概型，即如果某個有界區間【a,b】上等可能投點，那麼該點落在其任何乙個子區間【c,d】的概率為d-c/b-a，但是在此問題中一不是有界區間，二整數和有理數區間也不連續，所以應該無法運用。
再看概率的定義：設Ω為隨機試驗E的樣本空間，如果對於任意事件A包含於Ω，都有乙個實數P(A)與之對應，且滿足非負性（P(A)>=0)，歸一性(P(Ω）=1），可加性（互不相容則可加），則P（A）為事件A的概率。
所以我認為這個P(A)在此例中難以找到，此概率不存在。
我對高等數學理解很膚淺，如果我錯了，希望得到詳細點的說明。
以上為拋磚引玉。
13樓：
這個跟實變函式有關
整數的勢=有理數的勢，即他們可以建立一一對應的關係，舉個例子，正整數和正偶數的個數一樣多，有限關係並不能推廣到無限關係
所以就看你怎麼定義這個概率了
從1到N中隨機抽取乙個數（N為上限，不被抽取）作為新的上限繼續抽取，直到上限為1。求總抽取次數的期望？
可以直接解通項，先佔一坑。爪機打公式不方便望見諒。題主已經得出了 E n E 1 E 2 E 3 E n 1 n 1 這樣的遞推關係，分母是 n 還是 n 1 不再深究。令 S 為 E 的字首和，即 S n E 1E n 即可得S n S n 1 S n 1 n 1S n S n 1 n 1 n 1...
e會不會等於乙個有理數？
空間之刃 設 e a b，其中a，b都是正整數且互質。b ae sinb sinae 因為b是整數，所以sinb 0 所以ae k k取0時，a 0 k取1時，因為e 2e 所以1 a 2 都和a是正整數矛盾。當k 2時，設me 則1 m 2，顯然m不是整數。因為ae k kme，a km k是整數...
怎樣構造乙個從自然數到有理數的雙射？
CloverWYH 這件事其實首先要清楚什麼是 countable infinity 即，存在一種遍歷方式，能夠遍歷到你給定的任意乙個元素。也就是說，我們要構建一種遍歷方式，能夠逐一 沒有遺漏的 遍歷所有的有理數，這種遍歷別的答案已經寫到了，即是將有理數寫成分數的形式放在矩陣中進行對角線遍歷。其次要...