1樓：空間之刃
設π/e=a/b，其中a，b都是正整數且互質。
bπ=ae
sinbπ=sinae
因為b是整數，所以sinbπ=0
所以ae=kπ
k取0時，a=0
k取1時，因為e＜π＜2e
所以1＜a＜2
都和a是正整數矛盾。
當k≥2時，
設me=π，則1＜m＜2，顯然m不是整數。
因為ae=kπ=kme，a=km
k是整數，m不是整數，所以km不是整數
所以a不是整數。和假設矛盾。
所以π/e不是有理數。
之前的證明是有問題的，這回換個思路。
還是假設π/e=a/b，然後推出sinae=sinbπ=0因為ae=e+(a-1)e=e+ce
所以sin(e+ce)=sinecosce+cosesince=0sinecosce=-cosesince
sine/cose=-since/coscetane=-tance
所以ce-e=kπ
(c-1)e=kπ，de=kπ
因為ae=bπ
所以ae-de=bπ-kπ
(a-d)e=(b-k)π
因為a，b，c，d，k都是整數，所以b-k是整數。而根據假設，a-d=2
所以2e/π=b-k是整數。
而2e/π可以拿計算器算出來，顯然不是整數，所以矛盾。
所以π/e不是有理數。
忽略了乙個ce-e=kπ+π/2的情況。
不過也能做出，2e/π=n+1/2，也就是幾點五的情況，顯然也能用計算器做出來這是不對的。
2樓：非著名物理學渣
我覺得不會，因為哪那麼湊巧兩個無理數（而且是超越數？）之比就是個有理數呢？
好吧，其他答主說這是個open problem，也許沒有確定答案。
3樓：未填寫
補充答案，只能證明某些形式的超越數商也是超越數。
任意不同超越數的商也是超越數。
超越數可以表達為a^b,a為非0,1的代數數，b為無理代數數，所以提問簡化成，超越數的商是否可能不是超越數。
即a^b/c^d ，它等價於[a^(b-d)/c]^d即使b=d導致a^(b-d)=1,a^(b-d)/c也不等於0或者1，
所以任意超越數的商也是超越數。
純數學外行，指正還請留點臉
4樓：Yharnam
可以給出它是不是超越數的必要條件
Let ξ = π/e
設ξ是超越數，Pi(x) (i≥1)為次數為Ni，高為Hi的有理整係數多項式，並且
Ni＜N(i+1)≤C1Ni
log(Ni)＜log(N(i+1))≤log(C2Ni) (i≥1)
其中C1,C2是常數，則存在無窮多個i值及常數C3，使得：
log|(Pi(ξ))|≥-C3Ni(Ni+log(Hi))
5樓：王剛
哈哈哈哈，這個BI跪著也要裝一下
1. 高中那會兒啥都不懂的時候，就想過這個茬兒，不了了之；
2. 本科時強行數學專業，接觸到超越數的概念，發現，真的是博大精深，任何兩個超越數之間的關係是非常難講的；
3. 不過強行 @qfzklm，我也確信我找到了一種非常美妙的，證明其不是有理數的證法。
6樓：
mathforum.org/library/drmath/view/51617.html中提到的方法，可以令p(x) = (x-1/e)(x-pi) = x^2 - (1/e+pi)*x+pi/e，那麼可得1/e + pi與pi/e之中至多有乙個有理數。
但是單獨的結果還沒有。。
7樓：Hendry
是否存在某乙個有理數進製，使得 ，e等常用無理數變為該進製下的有理數？
金浩明 不行。進製的問題只是讓人類方便了解數字的大小的。乙個數本身和進製無關。就像你叫什麼名字是方便大家認識你，但不管叫什麼名字都是你。而有理數無理數是數本身的性質。 焱鶩 不存在的。考慮 0，1之間的 任意乙個數x的b進製可以表示為x a 1 b 1 a n b n 這樣子，a k 都是從0到 b...
與 0 最近的乙個實數是有理數還是無理數？
MAN 1 根據有理數與無理數的稠密性 任意兩個實數之間都存在無窮多個實數 所以並不存在 距離最近 的兩個實數。或者說，稠密性 描述的是 不存在 相鄰的實數 當然，需要指出的是，在邏輯上，並不是 稠密性 決定了沒有相鄰，而是沒有相鄰的特性叫做 稠密性 以上的描述是教科書上有的，大家很容易就想到，而且...
怎樣構造乙個從自然數到有理數的雙射？
CloverWYH 這件事其實首先要清楚什麼是 countable infinity 即，存在一種遍歷方式，能夠遍歷到你給定的任意乙個元素。也就是說，我們要構建一種遍歷方式，能夠逐一 沒有遺漏的 遍歷所有的有理數，這種遍歷別的答案已經寫到了，即是將有理數寫成分數的形式放在矩陣中進行對角線遍歷。其次要...