1樓：
很多概念是一步一步引入的。要理解「理想」的概念，首先你得理解子群和商群的概念。如果還沒學過商群，還是先等學過了再說吧。
乙個環的子集是理想的話，要滿足兩個條件。首先，是乙個子環，事實上是加法子群就夠了。第二個條件，我就不列出來了，課本上就有，我就只想說說為什麼要有第二個條件，只是子環為什麼不行。
給定乙個環的加法子群，首先這個環本身關於加法是交換群，所以就可以對這個子群做出乙個（加法）商群。顯然商群上可以定義加法。下面思考乙個問題，商群能不能做乘法，從而形成乙個環呢？
答案是不一定。即便這個子群是子環也不一定。於是就出現了那個看起來很奇怪的條件二。
事實上，你可以把條件二換成「環的加法群對該加法子群的商群可以定義乘法使商群成為商環」，應該就好理解多了。
2樓：
這是數學課程《近世代數》裡乙個定義的數學概念，完整的定義是這樣的：
設R為環，I為R的非空子集，如果I滿足：（1）r1，r2屬於I，r1-r2屬於I；（2）對任意的r屬於I，s屬於R，rs，sr屬於I。則稱I為環R的乙個理想。
又如果I真屬於R。則稱I為R的真理想
3樓：
回答乙個很有侷限但是容易理解的，數論或者是近世代數裡有乙個概念，ideal，也就是你說的理想，e，滿足，("·"僅代表某種運算)
a·e=a
a·a^-1=e
比如我們隨便給個群(不需要知道是什麼)，實數的運算，因此，3*1=3
3*1/3=1
因此1是實數在乘法運算法則下的理想。同理，0是實數在加法運算法則下的理想。
還可以繼續推廣到環和更多~
4樓：
唯一分解性十分重要，最初理想引入的目的就是為了在元素的唯一分解性不存在的環中新增上理想的唯一分解性。
為了嘗試把motivation解釋清楚，我舉兩個例子。
例子之前，我們注意這麼乙個事實（這個事實很容易用整數的唯一分解定理證明出）：
兩個互素的元素乘起來是三次方，那麼這兩個元素各自必須為三次方。
ex1.
考慮找：的整數解，很容易得到
這是因為我們知道整數環上有唯一分解定理（即任意整數在不考慮正負情況下可以唯一分解為素數乘積），，所以必須為以及的乘積。
ex2.
再考慮找的整數解
顯然，在整數範圍內它是沒法分解了，但是可以考慮在(即把加到整數裡面加減乘除出來的集合,）中分解：。
可以證明等式左邊兩個元素是互素的，由於中唯一分解定理仍然成立，所以前面的事實也是成立的，因此與必須為某個元素的三次方。
很容易驗證中的元素都形如,所以,然後展開比較。
虛部相等可以得到,所以
再比較實部可以得到
所以原不定方程只有乙個解。
現在進入正題：
考慮找的整數解，我們想模仿上述解法，將其分解，同樣可以證明等式左邊兩個元素互素，但沒有唯一分解性（），所以不能夠繼續。
可是Kummer認為它還是具有某種唯一性，他引進了形如的東西，並稱它們為「理想數」，定義了它們的乘法規則(見update 2016.10.10)，認為，從而恢復了唯一分解性。
於是上面那個不定方程可以通過轉換成理想數來求解。
用現在的語言來說，Kummer所說的就是我們指的理想，而他認為的唯一性就是在Dedekind整環上理想的唯一分解定理。
後人在沿用他這個想法的時候不知道怎麼就把好端端的理想數改成了理想╮(╯_╰)╭
update 2016.10.10:
Kummer定義的理想數也可以看成是在更大的環（如、）上求最大公因子。所以與相乘運算如下
同時保持各種其他的求最大公因子的演算法。
因此其中，最後乙個等號是因為,於是更多的數的公因子更是1。
同理可以得到，於是。
5樓：
理想主要是為了讓環上的「商」也具有環結構。因為乙個環同時也是乙個阿貝爾群，所以他的「商」可以由阿貝爾群的商自然地給出，但此時的自然乘法結構可能並不滿足環的定義（比如會存在的情況），因此就可以保證這一點。
6樓：彭柯堯
理想這個名字ideal是怎麼來的我不清楚……對這段數學歷史我也不是很清楚……而且代數這方面的東西我也不是很了解。有說錯的地方請指正。
先從理想是什麼講起。題主自己去查一下群和環的定義，很簡單的。
環有加法和乘法，最簡單的就是考慮所以整數構成的環R，有加法，有乘法，但是乘法不一定有逆(兩數相除可能會不是整數)。
好了，現在我們考慮他的乙個子集，比如說，7的倍數，可以發現，這個集合的數也構成乙個環，所以是乙個子環。而且，還是個理想子環。但是不是所有的子環都是理想子環，因為理想子環有一些更高的要求。
你看，7的倍數加7的倍數還是7的倍數。
然後7的倍數乘任何整數還是7的倍數。
第二個性質是一般子環所沒有的，這也是理想的定義。
從我舉的例子裡面可以看出，我們通過數7得到了乙個理想，於是你可以想到，很多理想都可以這樣由乙個數生成，這種理想叫主理想。當然還有非主理想，不過例子會比較複雜。乙個環商掉乙個理想就是乙個更小的環，如果商掉的是極大理想，得到的就是乙個域了。
所以我們可以通過理想來構造想要的域。
對理想有很多應用，看到其他人提到的理想數。我對代數數論不是很了解。在代數數論裡面，我們經常會研究這樣的「整數」，比如a+b√3，這種叫代數整數，他們也有很多類似整數的性質，而且在解決很多數論問題的時候很有用。
但是有乙個問題，就是只有少數種類的代數整數有唯一分解性質，這個東西太重要了，沒有它很多結論就無法成立。怎麼辦呢，庫莫爾後來證明了在所又代數整數中，有一些數肯定有唯一分解的性質。然後由於這些數的構造和理想有點關係，就叫理想數了。
7樓：Saberization
就我所知，理想這個名字是這樣來的：
人們發現如果分圓域有唯一分解性質，那麼就能證明飛馬大定理。但是一般情況下這不對。Kummer通過設想一種＂理想數＂的存在，可以把論證對更廣的一類素數（regular prime）。
後Dedekind發現可以用＂環裡所有是某個數倍數的集合＂這一想法來建立理想數的理論。所以就沿用了理想這個名字。
乙個數學問題怎麼解？
餘音 無解！奇數 奇數 奇數 更新乾貨 說無解也不能讓人信服，誰讓大家都是喜歡一邊摳腳一邊想證明自己是IAS Topper的天才的人呢 唉，搖頭 既然大家都喜歡玩奇進製，我就證明一下。用d表示數字的十位，u表示數字的個位，p表示進製 待會大家都明白了 那麼即是要求解 分解可得 由於，且是的倍數 且是...
怎麼理解乙個銷售人所說的「乙個有理想有抱負的男生就應該去做銷售，挑戰自己，鍛鍊自己」？
Ferrarixh 第一次回帖 其實銷售這個東西，每個人都在做，我們認真讀書，就是為了努力提公升自己的優勢，在用人單位選擇我們的時候看得就是我們有哪些優勢適合這個崗位，我們找工作，銷售的是自己的能力，用自己的能力去吸引用人單位來花工資購買我們的能力，讓我們為他做事 同樣，銷售，只不過是我們在賣實際的...
我這樣推廣乙個數學問題是否可以得到一般解？
獨行者 應 PinkRabbit 要求，重新敘述一下推廣題 字實在是太醜，還是打出來吧 集合A 其中，a1實際上就是最短加法鏈的一種等價形式，因為顯然有ai ka1 k N PinkRabbit 這是最短加法鏈問題的乙個推廣，你可以看看這篇文章參考一下？Alkrov 特別篇，最短加法鏈求解問題 03...