1樓：
即為所求
取極限不難看出的極限是
至於 為什麼是有理數，相當顯然，留作習題（逃）@Deep Blue 和 @何冬州楊巔楊豔華典生 其實已經給出了這個解法（連分數/Pell方程）
但看上去題主一定想要乙個通項公式？
那就給乙個通項公式好了。
2樓：雲淺知處
前幾天剛寫過這個......
為什麼這可以求a的平方根？
為了方便，做些改動搬過來吧（
考慮數列 。
首先有： 。
取等條件是 ，但顯然不存在 使 ，那麼等號取不到，即 \sqrt" eeimg="1"/>。
故 2" eeimg="1"/>，結合 0" eeimg="1"/>知 \dfrac" eeimg="1"/>，於是：
這表明數列 單調遞減。又 \sqrt" eeimg="1"/>，因此數列 的極限存在。
下面證明數列 的極限就是 。
事實上，記 ，則 。
記數列 的極限是 ，即 。
在遞推式 兩邊取極限得：，這表明 就是函式的乙個不動點。
（實際上，若遞推數列 存在極限，則其極限就是函式 的乙個不動點。）
由 解得 ，因此數列 的極限正是 。
事實上，由此可見，不管你要極限是多少的數列，只需要構造乙個函式 使得它的乙個不動點是你要的值，再取乙個合適的值作為 ，然後令 即可。
注意這個數列的首項並不能隨便取，這是因為乙個函式的不動點並不一定唯一，如果亂取可能會導致這個數列的極限取到了 的另乙個不動點上qwq
3樓：NotAUser
考慮佩爾方程：x^2-2*y^2=1
明顯有解x0=3，y0=2
考慮通項(x』,y』)=(3*x+4*y,2*x+3*y)依舊滿足原方程
數列就滿足題意
4樓：Deep Blue
考慮佩爾方程 的正整數解 和 ，變換一下有 ，於是當 ， ， 。佩爾方程求解可參考
於是分數 逼近 ，實際上所有解 為佩爾數(Pell number)。
佩爾數定義為 1 \end \end" eeimg="1"/>(和 Fibonacci number的遞推非常相似)
可解出 ，
於是上述佩爾方程的第 個解為
因此序列 趨近於 ，代入 可得通項公式
滿足 前幾項為
因為 所以有
(上式用右邊整體替換分母中的 )，不斷替換分母中的 最終可以得到 的連分數表示
對上述連分數取近似展開可以得到
即 為 連分數表示展開到第 層的數值
參考鏈結
en.wikipedia.org/wiki/P
5樓：滑稽之雄
寫乙個非常基礎的，其中x取正有理數，而每個An+1（x）由An（x）遞迴定義：
A1（x）=x，
An+1（x）=（2n+1）/（n·An（x）+1）.
但是上面是憑直覺寫出的，沒具體證明，錯了也未可知.
6樓：Mephisto
如果 且
那麼 都有 且
這次更新，我補充說明一下。
函式項數列 的每一項都是多項式，都是有限項的多項式！
因為 所以
所以 所以
強調 所以 例如
顯然 所以
7樓：何冬州楊巔楊豔華典生
設有整數(不妨設非負)X,Y,n，滿足XX-nYY=Z，這裡Z∈，Z可正可負。(注：也可以用|XX-nYY|=Z，即XX-nYY∈或，這樣的方程(稱為Pell佩爾方程)容易求解，很多教材或資料(包括網頁)都有講解；可以和連分數建立對應關係；也可用遞推數列或通項公式來描述它的解。
以下略講|XX-2YYI=1，即XX-2YY∈
K=0， X(K)=1，Y(K)=0
K=1， X(K)=1，Y(K)=1
K=2， X(K)=3，Y(K)=2
K=3， X(K)=7，Y(K)=5
K=4， X(K)=17，Y(K)=12
K=5， X(K)=41，Y(K)=29
您發現他們的遞推公式了嗎？
K=n，X(K)=X(K-1)+2Y(K-1)=Y(K-1)+Y(K)，Y(K)=X(K-1)+Y(K-1)，這裡是X與Y交錯的遞推形式。
另外，也有遞推形式：X(K)=2X(K-1)+Ｘ(K-2)，Y(K)=2Y(K-1)+Y(K-2)
或XX-2YY∈，是以上解集的子集，易知易得。略。
再如XX-2YY∈，令X替換為2X則成為2XX-YY=，其解由上題取X，Y對換而得，再將解得的2X的值當作X，作為本方程解。
K=0， X(K)=0，Y(K)=1
K=1， X(K)=2，Y(K)=1
K=2， X(K)=4，Y(K)=3
K=3， X(K)=10，Y(K)=7
K=4， X(K)=24，Y(K)=17
K=5， X(K)=58，Y(K)=41
進而，XX-2YY∈的解為：
K=0， X(K)=0，Y(K)=1
K=1， X(K)=1，Y(K)=0
K=2， X(K)=1，Y(K)=1
K=3， X(K)=2，Y(K)=1
K=4， X(K)=3，Y(K)=2
K=5， X(K)=4，Y(K)=3
K=6， X(K)=7，Y(K)=5
K=7， X(K)=10，Y(K)=7
K=8， X(K)=17，Y(K)=12
K=9， X(K)=24，Y(K)=17
K=10， X(K)=41，Y(K)=29
K=11， X(K)=58，Y(K)=41
通項公式，待續
使用矩陣，或將矩陣乘冪*列向量形成列表式二行陣，待續
外一則：
想起了XX+nYY=Z←→(X/iY)^2-n=-Z/YY，可否方便地利用複數求解不定方程。當然，可能數論中已有類似的、或先進的想法。待學習研究。
8樓：invictus
連分數啊！[1；2]，收斂極快！
其實我想到了19年山東高考模擬數學最後乙個題的構造a取2，然後根據（3）的構造就能搞出來了
這個應該是很基礎了吧，更簡單的我真的不會了
9樓：芷雨
證明： 0,\exists N=\mathrm\left\," eeimg="1"/>s.t.當 N" eeimg="1"/>時， ,故
事實上，對任意實數r，總存在收斂於r的有理數列 其中 ，證明跟上面類似。
鑑於題主把原題改為寫出乙個初等函式通項公式,我就再寫乙個答案，顯然它是有理數列
證明：顯然 0" eeimg="1"/>，注意到 的正根為 ，則於是， ,又
，由夾逼定理得 ，即
以「乙個 」為標題能寫出怎樣的故事？
紙生 乙個量詞。我是乙個量詞。我出生時尚無這樣的概念，這種說法是我在無數田字格組成的大地上橫行時偶然聽到的。在我誕生之初，我懵懵懂懂，一無所知，躺在破碎文字的屍骸上，從無數交錯的墨跡中拾起屬於自己的部分，並將它們放在眼前 這時，我恍然明白 我出生了。在得知這一點後，我自發地向前走，我每走一步，記憶中...
怎樣構造乙個從自然數到有理數的雙射？
CloverWYH 這件事其實首先要清楚什麼是 countable infinity 即，存在一種遍歷方式，能夠遍歷到你給定的任意乙個元素。也就是說，我們要構建一種遍歷方式，能夠逐一 沒有遺漏的 遍歷所有的有理數，這種遍歷別的答案已經寫到了，即是將有理數寫成分數的形式放在矩陣中進行對角線遍歷。其次要...
與 0 最近的乙個實數是有理數還是無理數？
MAN 1 根據有理數與無理數的稠密性 任意兩個實數之間都存在無窮多個實數 所以並不存在 距離最近 的兩個實數。或者說，稠密性 描述的是 不存在 相鄰的實數 當然，需要指出的是，在邏輯上，並不是 稠密性 決定了沒有相鄰，而是沒有相鄰的特性叫做 稠密性 以上的描述是教科書上有的，大家很容易就想到，而且...