1樓：
這不是什麼直觀，模擬錯用的問題，這就是個語言問題，總歸要用乙個名詞來縮寫連續的定義，無論是「continuous」還是「連續」，都是些有數學外意義的詞（它的好朋友「可導」——只在數學定義裡出現的詞就不會出現這種問題）。這種混淆常見又麻煩，而不僅是在「連續」或是數學上的體現，要鍛鍊記憶和區分度（你要對乙個熟悉的事物用陌生的觀點看待）才能掌握。
如果說像數軸一樣，我們給每乙個定義找到乙個唯一的位置，比如：連續這個詞替換函式1性質，可導叫做函式2性質，就不會出現這個問題，然而此類做法的成本也不小，因為我們本來就是用非數學，或者說極模糊的方法認識世界的。
2樓：777haha
並不存在「三個無理數連續存在，並中間沒有任何有理數」，事實上由有理數的稠密性，任意兩個不相等實數間總能找到乙個無理數，由此得到狄利克雷函式處處不連續的證明。無理數集不可數，只能簡單理解為無理數點是有理數點的無窮多倍，並不能如此模擬稠密度的概念。
3樓：
我不認為你困惑的根源是搞不清楚「連續」的準確定義是什麼。如果你不清楚為什麼不存在只有無理數構成的「區間」，你當然會認為Dirichlet函式在某些地方是連續的了。
…… 無理數點是有理數點的無窮多倍
這句話在集合論裡有準確的表達：有理數的基數是 ，無理數集的基數是 ；根據基數算術： 。在「無窮」的世界裡，你需要小心：「無窮」與「無窮」之間是可以很不一樣的。
…… 那麼就應該有無窮多個無理數點周圍緊挨著無理數點（即使有理數點是稠密的，而且這些點相對於無理數點總體無限少，但也存在這些點），
這是對實數的「序」理解的錯誤。在標準的實數的「序」的定義下，不存在「下乙個實數」這種說法（所以你說「周圍緊挨著」也就沒有意義了）：對於任意給定的乙個實數 ，不存在乙個跟 「緊挨著」的「下乙個實數」。
在集合論裡相關的概念叫「dense order」。任給兩個不同的實數 ，存在第三個實數 滿足 。在這個性質下，任何實數都不存在「immediate succesor」。
對於實數的「序」的這種錯誤理解可以解釋為什麼不少人認為 和 是兩個不同的實數：他們錯誤地認為1是「緊挨著」 的乙個不同於 的實數。
當然，在「選擇公理」的假設下，實數可以被「良序化」。粗略的說，在這種新的排序方式下，我們可以逐次考慮乙個實數，而在還沒有檢視完所有的實數的任何時候，總是有乙個唯一的「下乙個實數」可考慮。但是這種「序」已經不是我們熟知的實數中的序 了。
但假設無理數間必有有理數，有理數間必有無理數，那麼無理數和有理數的個數應該相等（或者個數相差為1）
「無理數間必有有理數，有理數間必有無理數」是可以從實數定義出發證明的事實（「真命題」）。任何與之矛盾的命題、想法、直覺通通都是錯的。「那麼無理數和有理數的個數應該相等」，這是個受自然數影響的錯誤的「直觀」。
正如前面提到的，「無窮」是有不一樣的「層次」的。自然數的「無窮」與實數的「無窮」非常不一樣。
Dirichlet函式處處不連續
當你覺得乙個數學命題違反你的「直覺」的時候， 乙個靠譜的做法是去看它的證明。這個命題的證明很短，在很多教材是作為練習題出現的：
記這個函式為 。給定任意 ，我們要證明 在 處不連續。在 的任意給定鄰域 內，總是同時存在有理數和無理數[1]，所以我們可以找到 使得 。所以 不可能在 處連續。
4樓：陳斌
從數軸看,實數可以排成一條線,看樣子可以"排隊",那麼排在 前後的數是?,再細看,僅僅從有理數範圍就無法"排隊".不過有理數可數,可以像自然數"從頭到尾"排起來,只不過不能按"大小"來排隊.
5樓：余偉崗
首先不能用初等數學的眼光去理解多。無理數比有理數多是康德爾證明的。 證明的精髓在於無論你怎麼構造無理數跟有理數的一一對應，總能找到構造規則之外的無理數。
所以無理數比有理數多。從這個證明看，你不能以有限數的數量來理解多這個概念。在無窮大世界，多有更深刻的含義。
它表示無理數比有理數從對應上講，有更深刻的意義，不是簡單理解為在有限的範圍內乙個有理數對應乙個無理數，這樣對應下來，會多出幾個無理數。換句話說，任何無理數之間都有有理數存在（所謂有理數稠密性）跟無理數比有理數多不矛盾。這貌似有點不和理，但是由於有康德爾的嚴格證明，你不得不承認這個事實。
數學的魅力就在這裡。嚴格的邏輯思維描述了乙個直覺無法想象的世界。
補充說一點，如果從有限量的觀點出發，既然無理數比有理數多，那麼排乙個有理數再排乙個無理數，最後會有無理數多出來，所以狄拉克雷函式就連續了。但是在無窮大的世界，場景卻變了，雖然無理數比有理數多，但是你還是可以實現排乙個有理數再排乙個無理數。對常人來說似乎有點不可想象，但數學家確實證明了這一點。
數學世界還是有它的特點的。
6樓：Mischief Black
從第一句話假設就有問題。
關於有理數、實數的勢的關係。有一關鍵的中間結論就是任意兩個實數之間可以找到乙個有理數。即：
有理數在實數中稠密。這個結論就可以拿來證明狄利克雷函式在實數域不連續。好好看下實變中的直線上的點集理論。
另外你對函式連續不和定義域相關也不理解。或者說你也沒看明白什麼叫做連續函式定義。
7樓：dhchen
學習數學，特別是分析，不能「隨便」模擬。正確的學習態度首先是從定義出發說服自己為什麼乙個結論成立，然後慢慢由此建立起新的「直覺」，而不是反過來，遇到什麼不理解的東西，硬要保留原「直覺」。你的錯誤直覺不扔掉，數學是學不好的。
正如陶哲軒所說，學數學的第一步往往是謹小慎微地嚴格按照定義，熟練後就能跳躍、憑直覺理解和猜測。可惜很多人還沒走路就想著飛了。
這個問題就是乙個連續性的定義，你錯誤地理解了「連續性」是一切的源頭，由於你直覺上錯誤理解了連續性，剩下的比喻都是扯蛋，比喻越多錯得越厲害，簡直是在邪路上狂奔。
對於非數學系的同學，我說一句。數學概念不能「顧名思義」，比如，數學上的連續和日常中的連續不是「一回事」，數學上的極限也和日常的極限不是一回事。
如果你正確理解了「連續」這個數學概念，這個結論是「顯然」成立的，如果不覺得顯然，請自己罰抄「連續性」的精準概念100遍。
8樓：求真
先說幾個簡單的結論
任意不等兩有理數a，b（a>b）之間有有理數a+b╱2有無理數（√2 -1）（a-b）+b
顯然，有理數不是連續的，因為他們中間一定有無理數。
那麼再來看無理數a，b（a-b>0）
若a-b>1
則有a＜［x］+1＜x+1＜y
此時［x］+1為整數為有理數。
若a-b＜1
這一定有正整數n使得
na-nb>1
由上得，此時一定有正整數p使得
na＜p＜nb
同時除以n，得證。
所以無理數也不連續
9樓：David KZ
很經典的反直覺的例子。
數學上涉及到無窮的時候經常會違反我們的直覺，有可能是因為現實中並不存在無窮的緣故。
你的問題很好回答，因為有理數是稠密的。
如果一定要找乙個和直覺相關的例子你可以這樣考慮，我有一杯水和一滴墨水，不管我這滴墨水有多少，我只要滴到水裡了，那這杯水也就不再純了。
當然了，這個例子也只是符合了「生活常識」，物理上也並不正確。
如果你要真實的理解「稠密」，你首先就要理解無窮，而理解無窮就要從點列開始，從無窮點集開始。
首先要理解可數無窮，這個相對來說貼合我們的常識，自然數就是可數的，我們從第乙個數0開始，可以一直數下去，而且我們還有0＜1＜2＜……，永遠沒有盡頭，這也就是最初我們對無窮的直覺了。
但是後來我們有了負數，你會發現，你不僅數起來沒有盡頭，而且還沒有開始。如果按照整數的大小關係，你沒辦法找到乙個最小的整數，自然數那樣的小於號的有起始的鏈不存在了。
而對於有理數而言，不僅沒法開始，而且沒法找出下乙個，你可以從0開始數，但是比0大的最小的有理數是？
不存在。
不僅不存在，我們可以找到任意小的比0大的有理數。
這就是稠密的概念了，對於任何乙個數，在它的任意小的範圍內，我們都能找到有理數。
稠密這一點就難倒很多初學高數的人，很多人理解稠密都理解成一段區間上密密麻麻的點就是稠密，然而稠密遠比那個來的多。稠密和連續關係緊密，因為稠密可以直接說，沒有連續的「空當」繼續用開始那個比喻，一杯滴了紅墨水的清水，無論取多麼小的一滴，都是紅的。然而世界在微觀層面上是離散的分子，所以我們不能取的那麼小。
但是數學上，無限可分，就沒那麼多問題了。有理數就像是附骨之疽，無論取多麼小的區間，你都能找到無窮無盡的有理數。
所以問題就來了，如果我們連乙個數的下乙個數是什麼都不知道，我們怎麼理解「連續」呢？
直覺上，什麼叫做連續？如果我們有乙個序列，蘋果，蘋果，蘋果，蘋果……這樣我們可以說，蘋果是連續出現的，但是數學上地連續和這個連續是兩碼事，數學上連續的意思更多是指乙個連貫的過程，像一根線，一段時間這樣的。
我們當然不能用前一種邏輯來定義連續，連可數的集合的大小(序)關係都無法讓我們寫出某個數的下乙個數是什麼，既然「相鄰」已經徹底不存在了，前一種「連續」也就沒有意義了。事實上，前一種結構反而是「離散」的，是連續的反義，我們要理解連續這兩種不同的語意，防止被干擾。
我們說乙個函式是連續的，不能理解成函式取值相同的點是乙個挨著乙個的，而應該理解成，一根連貫的不間斷的線。如果這根線上有乙個點斷了，那它就不再是連續的了。
但是這樣的理解只能解釋整個區間上的連續，無法解釋什麼叫在某點處連續。
還記得離散的情形我們怎麼理解連續的？我們判斷相鄰的點是不是一樣的。但是既然我們已經不存在相鄰了，所以我們就引入了「鄰域」，可以通俗地理解成「附近的區域」。
而既然我們已經把範圍擴大了那麼多，從相鄰的有限個點變成無窮多個，不可數個，我們的要求也從「一樣」，變成了「相差不大」，也就是說，只要能保證一點處任意小的附近的區域裡的所有數都和這個點相差任意小的值，用術語就是任意小的誤差都能找到乙個鄰域使得鄰域內的點都在該誤差範圍內。
實際上，到此為止，數學上的按點連續的概念已經和直覺上大相徑庭了，更符合直覺的數學上的說法應該是該點是函式影象的乙個聚點，也就在這點處「聚集」。
如此一來，你就可以理解為什麼狄利克雷函式處處不連續了。因為連續並不是相鄰的重複出現的緣故，縱使無理數再多，有理數仍然可以在任意小的區間上找得到，再重複一遍那個例子，這就好比充分混勻了的紅墨水和水，隨便取出來多麼小的一滴，它都是紅色的(如果小到分子集那就是另外乙個故事了，這也就是我說的現實不存在無窮)。
0 99999 8 是無理數還是有理數？
風流寒梅落英才子 阿拉伯數字也好，漢字也好，拉丁字母也好，都只是符號而已，乙個符號如果不符合實數的規則，那他就不是實數，遑論有理無理。比如 6.5.5.5 這個符號是有理數還是無理數呢？他既不是有理數也不是無理數。這是顯而易見的。那麼憑什麼0.99.998就是實數呢？小數的構造等價於級數，例如0.9...
既然有理數是稠密的，那麼為什麼存在無理數？
張若閒 簡單點，有理數不管再怎麼稠密，有理數都是明確的。0.1是有理數，0.1011是有理數，0.101101246499494946434616424513191還是有理數。有理數就是確定的數，不管多少位，他就是有限的。不管它多小，你願意分多少，總有乙個最終準確的數字。但無理數和有理數就不在乙個緯...
有理數和無理數比例是多少？
1.自然數有無數個，如果乙個集合元素有限，或者能和自然數集一一對應，那麼稱這個集合元素個數是可數的。2.有理數集和自然數集存在一一對應，換句話說存在某種辦法把所有有理數可以排成一列。如果我們給集合定義一種 長度 按正常人的直觀，這個 長度 應該滿足如下性質 3.乙個開區間 a,b 的 長度 為b a...