1樓：靈劍
你這個問法不對，不能說無理數是不是連續，連續是函式的屬性。f(x)=1也包含了所有的無理數，為什麼你就不覺得它有可能在無理數點上不連續呢？
你無非覺得難以理解的是乙個函式怎麼會在所有的有理數點上都不連續，卻在所有的無理數點上都連續呢，有理數不是稠密的嗎？怎麼會周圍全是不連續的點，而這一點卻是連續的呢？
但是其實沒有什麼奇怪的啊，我們看這個例子，我們令D(x)是狄利克雷函式，也就是說有理數點為1、無理數點為0的函式。然後我們考慮f(x) = xD(x)。
在x≠0的所有位置，這個f(x)都是不連續的，但它唯獨在x = 0這一點是連續的。只要考慮連續的定義就行了，連續指的是函式在這一點的極限與函式值相等。所謂極限，指的是不管想要多麼高精度的逼近，都只要離這一點足夠近就能做到。
在x=0附近，始終有|f(x)| ≤ |x|，那麼x = 0處的極限是存在的，而且為0，所以這一點是連續的。
你不能從直觀上去理解連續，覺得連續必須是有乙個小區間，區間上都是連續的，這要比單點連續的條件強很多。
說回黎曼函式，這個函式除了構造很巧妙以外，原理跟前面是差不多的。雖然有理點是稠密的，離乙個實數任意近的地方都有有理數，但如果考慮所有分母不超過自然數N的有理數，則是非常稀疏的，這意味著對於任意實數和任意的N，都存在乙個很小的去心鄰域，使得這個鄰域上的有理數的分母都比N要大，那麼在這個鄰域上黎曼函式的函式值不超過1/N。因為N可以任意大，這也就意味著黎曼函式在任意點上極限都存在且為0。
那麼根據極限定義，黎曼函式在所有有理數上不連續，而在所有無理數上連續，就是顯而易見的事情了。
2樓：巫奇
首先，你的表述有問題。不是「在黎曼函式上無理數點連續」，而是「在無理數點處黎曼函式連續」。這兩個函式分別在無理數點處連續和間斷。沒毛病。
連續這個說法定義的時候就是說，函式在某點處或某區間上連續，沒有說無理數點還有連續的。無理數只能說有稠密性，怎麼能說無理數連續呢？
既然無理數點遠比有理數點多，為什麼狄利克雷函式處處不連續？
這不是什麼直觀，模擬錯用的問題，這就是個語言問題，總歸要用乙個名詞來縮寫連續的定義，無論是 continuous 還是 連續 都是些有數學外意義的詞 它的好朋友 可導 只在數學定義裡出現的詞就不會出現這種問題 這種混淆常見又麻煩，而不僅是在 連續 或是數學上的體現，要鍛鍊記憶和區分度 你要對乙個熟悉...
為什麼根號二是無理數，而不是有理數與無理數之外的數？
薛丁格的貓 陳寧聰 這可以歸結到實數的完備性，而完備性的乙個構造性的說明方法就是，實數可以定義成有理數的柯西序列的等價類 粗略的說，兩個序列的逐項差得到的序列收斂到0，或者說它們極限相等，就是等價的 而我們研究以後發現，這些等價模擬有理數多的多，剩下的那些我們就叫無理數了。舉例而言，下面兩個序列是等...
對於函式f x x 有理數 ，f x 0 無理數 ，易證在x 0這個點是連續的，怎麼理解？
連續函式直觀上來看只是 不間斷 並不涉及到光滑性。連續性最初是對單點定義的，是乙個區域性性質。但是區間上的連續性說的是乙個整體性質，是對區間內的每個點都連續。 天才男高音 按連續的定義來做。對 取 當 時，對一切 有 這就是 在 處連續的定義。用函式極限的概念來理解連續 函式在某一點 處存在極限 的...