1樓：張景斌
矩陣乘法可以看成是n元輸入m元輸出的線性對映，是特殊的多元函式。
函式集合如果滿足加法與數乘封閉，那麼構成乙個線性空間，同構於某個向量組成的線性空間。
2樓：觀光鴨
1，關於加法和數乘封閉的集合都叫向量空間，向量空間裡的元素就叫向量。
2，對於乙個函式的集合，如果它關於加法和數乘都封閉，那麼這個函式的集合就是向量空間，裡面的函式就是向量。例如平方可積函式空間(也就是量子力學裡的束縛態波函式空間)。
3，向量空間上的對映稱之為線性變換，也就是把向量變成向量的對映。
4，向量空間的定義裡沒有限制維數，對有限維向量空間而言，向量可以表示為有限個有序數對，線性變換在給定基底下可以表示成矩陣。
5，對於無限維向量空間(通常是函式空間)，一般有限維的結論都無法使用，如果要使用的話必須要附加相對苛刻的附加條件才行。例如向量不一定能寫成有序數對，線性變換大多都不能用矩陣描述。
6，向量空間上還可以定義附加結構，例如內積，范叔，辛結構，等等。
7，接第"5"點，對於無窮維向量空間(例如某個函式空間)，必須附加一定限制條件才能得到和有限維相似的結論：
要求是Hilbert空間：向量空間和對偶空間同構
要求Hilbert空間可分：向量可以寫成無窮長有序數對(x,y,z,.....)
要求是緊運算元：算符才能寫成無窮維矩陣
總結來說，有序數對描述的向量和矩陣描述的線性變換都是有限維情況的研究方法。用某個函式空間定義的向量空間是無窮維的，其中的元素也稱為向量，這時候通常不能用有限維的有序數對和矩陣來研究它。
3樓：靈劍
要有乙個線性空間的概念，線性空間中只有元素和標量兩個概念，元素可以使用標量進行線性組合（aX+bY這樣），習慣上這裡的元素也可以叫做向量，這是比較廣義的向量。線性變換（或線性對映）是線性空間中比較重要的概念，它代表乙個對映f(X)且滿足f(aX+bY)=af(X)+bf(Y)。
如果線性空間是有限維的（量子力學中似乎推廣到了可數維），總可以選出有限（可數）個基底元素，在這個基礎上，所有元素都可以通過基底元素的線性組合來表示，因此可以用這一組係數來表示這個元素，這種表示形式通常也叫做向量，因為它和真實存在的線性空間裡的元素一一對應。這種表示方式下，線性變換則可以通過矩陣來表示，線性變換運算就是矩陣乘以（列）向量，線性變換復合就是矩陣乘以矩陣。
如果空間是無限維的，特性上會和有限維有區別，這時候線性變換通常不能用矩陣表示。泛函分析時，要研究的函式組成乙個線性空間，這個線性空間中的線性變換抽象為運算元。注意運算元並不要求一定定義在無限維線性空間上，如果恰好原空間是個有限維線性空間，那這個運算元就會有乙個對應的矩陣。
它可以看成是矩陣工具的某種推廣。
4樓：好可怕
我推薦這本書，只要看第一章多重線性代數就可以了。然後你重新理解一下"向量"是什麼。
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